Het volgende is een vwo examensom, ik heb geen uitwerkingen ervan wel de eindantwoord namelijk p=1 en p=-1 maar dat krijg ik niet als eindantwoord, wilt u deze behandelen ?
Voor elke p E R de functie fp met domein -1/2p,1/2p gegeven door x-- p/(cos2x) + 2tanx
gevr: Voor welke p geldt: de grafiek van fp raakt de x-as ?
Met vriendelijk dank.
David
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 12 augustus 2003
Antwoord
De grafiek moet de x-as raken. Dat betekent twee dingen: - de functiewaarde bij een zekere x moet 0 zijn - de afgeleide bij diezelfde x moet ook 0 zijn. De functiewaarde gelijknamig maken en teller 0 stellen levert: p + 2sin(x)cos(x) = 0, ofwel p = -2sin(x)cos(x) Ik neem aan dat het differentieren geen probleem is. De afgeleide is 2p·sin(x)/cos3(x) + 2/cos2(x) Gelijknamig maken en de teller 0 stellen levert: p·sin(x) + cos(x) = 0, ofwel sin(x)/cos(x) = -1/p,
Deze twee resultaten samen geeft: sin(x)/cos(x) = 1/2sin(x)cos(x) gelijknamig maken en teller nulstellen geeft: 2sin2(x) = 1, dus sin2(x) = 1/2 Hiermee kun je de waarden voor x op het gegeven domein berekenen, en vervolgens uit een van de resultaten hierboven ook de waarden voor p. Inderdaad komt er dus uit: p=1 of p=-1 groet,
-1/2p,1/2p
Re: Raken en loodrecht snijden 