\require{AMSmath}

Vectoren probleem

ik zit met de volgende opgave in de maag(vertaald uit het engels):

ik moet de vector parametrische vergelijking opstellen van een lijn die door een gegeven punt (A) gaat en parallel loopt aan een lijn die 2 andere gegeven punten (B&C)verbindt.

vervolgens het paar cartesische vergelijkingen bepalen voor deze lijn (dit staat goed in m'n boek beschreven) vervolgens de punten bepaen waar deze de vlakken (x,y) en (y,z) snijdt en dan met deze 2 punten een nieuw paar cartesische vergelijkingen opstellen voor de lijn.

hoe moet ik deze opgave aanpakken?

Stefan
Student universiteit - dinsdag 12 augustus 2003

Antwoord

Noem de oorsprong van de ruimte O. De vectorvergelijking van de rechte is dan (P een punt van de rechte en k een reeel getal dat met dat punt correspondeert)

OP = OA + k.BC

Componentsgewijs betekent dit dat een punt (x,y,z) op de gevraagde rechte ligt als er een reeel getal k bestaat waarvoor tegelijk

x = A_x + k.(C_x-B_x)
y = A_y + k.(C_y-B_y)
z = A_z + k.(C_z-B_z)

Alle drie deze vergelijkingen kunnen we oplossen naar k. De drie waarden die we voor k vinden moeten gelijk zijn, wat het volgende paar vergelijkingen oplevert

(x-A_x)/(C_x-B_x) = (y-A_y)/(C_y-B_y) = (z-A_z)/(C_z-B_z)

Het (x,y)-vlak wordt gesneden in een punt V met z-coordinaat gelijk aan 0. De andere twee coordinaten volgen dan uit bovenstaand stelsel.

V_x = A_x-A_z.(C_x-B_x)/(C_z-B_z)
V_y = A_y-A_z.(C_y-B_y)/(C_z-B_z)
V_z = 0

Het (x,y)-vlak wordt gesneden in een punt W met x-coordinaat gelijk aan 0. Uit symmetrie met de vorige situatie vinden we meteen

W_x = 0
W_y = A_y-A_x.(C_y-B_y)/(C_x-B_x)
W_z = A_z-A_x.(C_z-B_z)/(C_x-B_x)

Als je die punten hebt berekend kan je een ander paar vergelijkingen opstellen voor de eerste rechte, namelijk

x = V_x.(y-W_y)/(V_y-W_y)
z = W_z.(y-V_y)/(W_y-V_y)

cl
dinsdag 12 augustus 2003

©2001-2024 WisFaq