Geachte heer, mevrouw, Ik heb een opgave waar ik maar niet uit kom. Gegeven is de kromme k: (x,y,z)=(4cos(t),4sin(t), 3t).
Beschouwd moet worden het Oxy-vlak als horizontaal vlak. Bereken de helling van k.
Met vriendelijke groet, Sebastiaan
Sebast
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 31 juli 2003
Antwoord
Beste Sebastiaan (ook wel Mieke de Boer),
De raaklijn aan k heeft, door afleiding naar t, dezelfde richting als de vector [-4sin(t),4cos(t),3], met lengte 5. De projectie van deze vector op het Oxy vlak is [-4sin(t),4cos(t),0], met lengte 4. De cosinus van de hoek tussen vector en projectie is dus 4/5, zodat de hoek zelf gegeven wordt door bgcos(4/5).
Merk op dat deze hoek onafhankelijk is van de parameter t. Op alle punten van de schroeflijn (want dat is de naam van k) is de hoek met het "grondvlak" dezelfde.
Je bekomt hetzelfde resultaat door de schroeflijn te ontwikkelen in een vlak. Als je op de basis van de cilinder waar de schroeflijn "ophangt", een omwenteling maakt, leg je een afstand af van 8p. Ondertussen ben je wel 6p eenheden gestegen. Stijgingshoek is dus bgtg(3/4), en dat is hetzelfde als bgcos(4/5), een kleine 37 graden. Hellingspercentage is dus 3/4=75%.
