Ik mis een bladzijde uit mijn wiskunde boek waarbij o.a uitleg wordt gegeven over hoe de volgende oefeningen gedaan moet worden, ik kom er zelf niet helemaal uit misschien dat jullie me kunnen helpen.
gevr.a) bereken de coordinaten van de punten waarin de grafiek van l de lijn y= 0.5x snijdt
b) snap ik c) In welke punten heeft de grafiek van f een horizontale raaklijn ? d) Hoe groot is de maximale helling van de grafiek van f en in welke punten wordt die bereikt ?
bij a) krijg ik voor de x-en 0, 2$\pi$, en $\pi$ maar in het antw.boek staan er meer ik weet niet hoe ze daaraan komen.
Deze oefening snap ik ook niet;
2) geg: f(t)=sin(t) , g(t)= 0.5 sin(2t) en h(t)= f(t)+g(t)
gevr.a) Hoe volgt hieruit dat de grafiek van h ($\pi$.0) aan de t-as raakt ?
b) de grafiek van h heeft op het interval [0,2$\pi$] twee toppen.Bereken die toppen.
Tim
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 26 juni 2003
Antwoord
1
a) Je moet f(x) = 0.5x + 0.25sin(2x) = 0.5 x oplossen. Dus 0.25sin(2x) = 0 $\Leftrightarrow$ sin(2x) = 0 $\Leftrightarrow$ 2x = k$\pi$ (k $\in$ $\mathbf{Z}$) $\Rightarrow$ x = 1/2k$\pi$ (k $\in$ $\mathbf{Z}$). Maar je hebt een interval gekregen, x $\in$ [0,2$\pi$] dus kun je de x-coördinaten berekenen en bijgevolg de y-coördinaten ook. x = 0, x = 1/2$\pi$, x = $\pi$, x = 11/2$\pi$, x = 2$\pi$, de bijbehorende y-coördinaten kun je vinden door ze of in de functie met de sinus in te vullen of door ze in de eerstegraadsfunctie in te vullen.
c) Een horizontale raaklijn wil zeggen dat er een maximum of een minimum is óf een buigpunt, dus de functie differentiëren en gelijk stellen aan 0. Je zou ook nog de tweede afgeleide moeten berekenen en deze ook gelijkstellen aan 0 en controleren of de nulpunten van de tweede afgeleide niet overeenkomen met de nulpunten van de eerste afgeleide, want dan is buigpunt met een horizontale raaklijn, indien de waarden niet overeenkomen, als f'(a) $>$ 0 en f'(a) = 0 dan heeft de raaklijn een positieve richtingscoëfficiënt, indien f'(a) $<$ 0 en f'(a) = 0 dan geldt dat er een negatieve richtingscoëfficiënt van de raaklijn is, waarbij a de x-coördinaat van het buigpunt is.
f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ 0,5cos(2x) = -0,5 $\Leftrightarrow$ cos(2x) = -1 $\Leftrightarrow$ 2x = $\pi$ ±2k$\pi$ (k $\in$ $\mathbf{Z}$) $\Leftrightarrow$ x = 1/2$\pi$±k$\pi$ (k $\in$ $\mathbf{Z}$). Dus op 't interval gelden de waarden $\Rightarrow$ x=1/2$\pi$, x=11/2$\pi$.
f'(x) = -sin(2x) $\Rightarrow$ f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1/2k$\pi$(k $\in$ $\mathbf{Z}$) dus op 't interval x = 0, x = 1/2$\pi$, x=11/2$\pi$, x=2$\pi$ je ziet dat nulpunten van de eerste én de tweede afgeleide overeenkomen in x = 1/2$\pi$ en x = 11/2$\pi$ daarom zijn er buigpunten in deze x-coördinaten met een horizontale raaklijn. Hetgeen ook duidelijk uit onderstaande tekening blijkt
d) De maximale helling van de grafiek wil eigenlijk zeggen: waar is de eerste afgeleide 't grootst. Je kunt de eerste afgeleide opvatten als een functie op zich waar je 't maximum van wilt weten, dat doe je door de functie te differentiëren en gelijk te stellen aan 0. Krijgen we de tweede afgeleide die gelijk wordt gesteld aan 0, dus -sin(2x) = 0 dat gold voor x = 0$\pi$, x=$\pi$, x=11/2$\pi$ en x=2$\pi$, maar we wisten dat voor x=1/2$\pi$ en x = 11/2$\pi$ er een horizontale raaklijn was, en die is uiteraard 0. De waarden die overblijven (x=0, x=$\pi$, x=2$\pi$) zijn dus de x-waarden waar de grafiek 't sterkst stijgt.
2)
a) h(t) = sin(t) + 1/2sin(2t). De t-as raken, wil dus zeggen dat de functie aan 0 moet worden gelijk gesteld (zoals je in een functie van de vorm f(x) de nulpunten berekent door f(x) = 0 uit te rekenen). Hier h(t) = 0 $\Leftrightarrow$ sin(t) + 1/2sin(2t) = 0 $\Leftrightarrow$ sin(t) = -1/2sin(2t) $\Leftrightarrow$ sin(t) = -1/2·(2·sin(t)·cos(t)) $\Leftrightarrow$ sin(t) = -sin(t)·cos(t) Beide leden door sin(t) delen$\Leftrightarrow$ cos(t) = -1 $\Leftrightarrow$ t = $\pi$±2k$\pi$. Voor deze t-waarden wordt de t-as dus gesneden, de eerste postieve t-waarde is dus inderdaad ($\pi$,0) en de volgende (3$\pi$,0), ... maar aangezien er voor het delen door sin(t) stond sin(t) = -sin(t)·cos(t) geldt ook sin(t)=0, dus t=k$\pi$, alleen de buigpunten worden berekend met t = $\pi$±2k$\pi$.
b) Zie onderstaand plaatje Je kunt de toppen al aflezen, en verifiëren of de uitkomst correct is. Die toppen zijn een lokaal maximum en een lokaal minimum, die berekenen we door de eerste afgeleide te berekenen gelijk te stellen aan 0 en dan rekening houden met het gekozen interval [0,2$\pi$].
h'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ cos(t) = -cos(2t) $\Leftrightarrow$ cos(t) = -2cos2(t) + 1 $\Leftrightarrow$ cos(t) + 2cos2(t) - 1 = 0. Stel nu cos(x) = u bijvoorbeeld krijg je 2u2 + u - 1 = 0 $\Rightarrow$ D = 1 - 4(2·(-1)) = 9 u1,2 = (-1 ±3)/4 cos(t) = 1/2 $\angle$ cos(t) = -1 t = ±1/3$\pi$ ±2k$\pi$ $\angle$ t = t =$\pi$±2k$\pi$. Op het interval [0,2$\pi$] vullen we de verschillende t-waarden in die we net berekend hebben (voor die t-waarden gold dat er een maximum of een minimum was, nu bijbehorende y-waarden berekenen), krijgen we h(-1/3$\pi$ ± 2·k·$\pi$) = -1,299038106... waarbij k $\in$ $\mathbf{Z}$ en indien we h(1/3$\pi$ ± 2·k·$\pi$) berekenen komen we 1,299038106 uit.
Ik begrijp dat het vrij moeilijk is, maar indien je ergens mee vast zit kun je altijd hier terug komen.
