Ik heb een vraagje. Voor mijn praktische opdracht moet ik onderzoeken wat de periode is van 1/p als p een priemgetal is. Ik heb een uitdraai van de periodes van zulke breuken maar ik kan geen regelmaat ontdekken. Mischien kunt u mij helpen.
Nikola
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 26 juni 2003
Antwoord
Hallo,
Daar zit inderdaad niet al te veel regelmaat in. Wel is het zo dat er een aantal zijn waar de periode juist p-1 cijfers telt, en dat is het theoretische maximum, meer kan absoluut nooit. Dat is bijvoorbeeld zo bij p = 7,17,19,23,29,47. Waar het niet zo is, bijvoorbeeld bij p = 11,13,31,37,41,43,53, zal je wel altijd zien dat de periodelengte een deler is van p-1. (in volgorde: 2,6,15,3,5,21,26).
Wat ook best wel interessant is, is dat in het eerste geval (dus met lengte p-1), je mooie resultaten krijgt als je kijkt naar q/p, met q gaande van 1 tot p-1. Dan krijg je immers altijd dezelfde periode, maar ze zal altijd starten op een andere plek in die periode, bv: bij 1/7 is de periode 142857, dan wordt: 1/7 = 0.142857... 2/7 = 0.285714... 3/7 = 0.428571... 4/7 = 0.571428... 5/7 = 0.714285... 6/7 = 0.857142... En zulke resultaten krijg je altijd als de periodelengte p-1 is.
NB de periodelengte hangt natuurlijk ook af van welk getallenstelsel je gebruikt: in het binaire stelsel is de periode van 1/5 bijvoorbeeld gelijk aan 4.
Ik hoop dat je er iets aan hebt, Groeten, Christophe.
