Ik kwam onlangs de volgende opgave tegen op een tentamen van een eerstejaars Natuurkunde studie (ik ben zelf niet verbonden aan de universiteit, dus heb geen toegang tot antwoorden), waarop de volgende opgave stond: Voor welke waarde van C convergeert de integraal int(0-oneindig) (x/(x^2+1) - C/(3x+1)) dx en bereken de integraal voor deze waarde van C.
Enthousiast als ik ben, ben ik begonnen met het oplossen van het vraagstuk, maar loop (4 A4-tjes en x verschillende manieren later) muurvast. Zowel met het schrijven van de integraal als machtreeks als het op een creatieve manier proberen uit te schrijven van de integraal levert me niets op: alles gaat richting oneindig en de waarde van C (die wel in de vergelijkingen terugkomt) lijkt daar niets aan te kunnen verhelpen.
Ik ben niet direct op zoek naar een kant en klare oplossing, maar meer een hint in de goede richting. Zou iemand mij verder kunnen helpen ?
Duizendmaal dank,
Arnoud de Bruijn
Arnoud
Iets anders - donderdag 26 juni 2003
Antwoord
Hallo,
In de opgave staat een verschil van twee integralen, die elk iets logaritmisch als oplossing hebben: xdx kan je immers ongeveer schrijven als d(x2+1) en dx kan je ook omvormen tot d(3x+1), zodat er tweemaal een (du)/u komt, en dat geeft een ln.
Die ln moet je ontwikkelen in een bovengrens van plus oneindig, dus dat kan nooit convergeren, tenzij je iets van de volgende vorm kan krijgen: òa¥f(u)du - òb¥f(u)du Dan vallen die oneindigs mooi weg en convergeert het hele geval.
