\require{AMSmath}

Repeterende vergelijkingen

Hoe los ik de volgende vergelijking op --

Öx+ (Öx+ (Öx+ (Öx+ (Öx+(Öx+ (Öx+ (Öx+...))))))) =
Öx* (Öx* (Öx* (Öx* (Öx*(Öx* (Öx* (Öx*...)))))))

Ik heb ergens anders al het antwoord gelezen (Het rechterlid is gelijk aan x, zodat x2-x=x en dus
x=0 of x=2. Beide oplossingen zijn mogelijk.)

Ik begrijp dit echter niet. Kunt u me dat misschien uitleggen? Ik zie het zelf namelijk echt niet.

Loubna
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 23 juni 2003

Antwoord

Die vraag was inderdaad het vervolg van een andere vraag, die jammergenoeg onder een andere naam was gesteld.

linkerlid = Ö(x + Ö(x + ...))
linkerlid² = x + Ö(x + ...)
linkerlid² - x = Ö(x + ...) = linkerlid

Hieruit zou je linkerlid in functie van x kunnen bepalen, door het oplossen van de kwadratische vergelijking, maar dat hebben we niet meteen nodig, zoals blijkt uit het volgende. Als x=0 is het rechterlid ook gelijk aan 0. Als x niet gelijk is aan nul dan

rechterlid = Ö(xÖ(...))
rechterlid² = xÖ(...)
rechterlid²/x = Ö(...) = rechterlid

Hieruit volgt dus dat rechterlid=x, wat het geval x=0 ook meteen beschrijft. Je had deze uitdrukking ook kunnen bekomen door in te zien dat

rechterlid = x^1/2x^1/4x^1/8... = x

Uit linkerlid=rechterlid volgt nu dat

(1) rechterlid² - x = rechterlid
(2) rechterlid = x

wat leidt tot x²-x=x en de genoemde oplossingen. Omdat je met wortels werkt, moet je achteraf ook nog even controleren of de bekomen oplossingen wel zinvol zijn, dwz of er geen negatieve dingen verschijnen onder het wortelteken. Dat is niet zo, dus beide oplossingen zijn mogelijk.

cl
maandag 23 juni 2003

©2001-2024 WisFaq