De vraag is de volgende warmtevergelijking op te lossen: Ut = Uxx Met de volgende randvoorwaarden: U(0,t) = U(1,t) = 0 En beginvoorwaarde: U(x,0) = cosh(x) = [ e^x + e^(-x) ] / 2
De volgende uitwerking heb ik zelf gemaakt (met behulp van een boek), echter zie ik niet hoe dit tot een oplossing van de warmtevergelijking gaat leiden. Kunnen jullie helpen?
Als U(x,t) = X(x) T(t) (1) Dan wordt de warmtevergelijking: X’’T= X T’ Uitgewerkt: (X’’/X) = (T’/T) = -λ
Zo ontstaan er twee d.v.’s: (2) X’’ + λ X = 0 (3) T’ + λ T = 0
Substitutie van de eerste randvoorwaarde in (1) geeft: U(0,t) = X(0) T(t)
Beginwaardeprobleem: Xn(x) = sin (n pi x / L), met n = 1, 2, 3, … Met eigenwaarden λn = n^2 pi^2 / L^2
Substitutie in (2) van bovenstaande geeft: T’ + (n^2 pi^2 / L^2) T = 0
Un(x,t) = e^( [ -n^2 pi^2 / L^2 ] t) sin(n pi x / L) (Fundamental solutions?)
U(x,t) = (n=1, ¥) Σ Cn Un(x,t) = (n=1, ¥) Σ Cn e^( [ -n^2 pi^2 / L^2 ] t) sin(n pi x / L) (Is dit de oplossing?)
U(x,0) = (n=1, ¥) Σ Cn sin(n pi x / L) = cosh(x)
Cn = 2/L {integraal van 0 tot L}ò cosh(x) sin(n pi x / L) (Wat is de meest logische weg om deze integraal te berekenen, integration by parts is redelijk omslachtig)
Met L = 1, mag de oplossing van de warmtevergelijking worden geschreven als:
