\require{AMSmath}

Hoe oppervlakte berekenen en integreren

Ik heb nog nooit eerder met e-machten gerekend en moet deze som maken.

geg: f(x)= 2.e^(0.5x) en g(x)= 1/(x+4)

gevr. de grafieken van f en g, de lijn x=-2 en de lijn x=2 sluiten een vlakdeel in, bereken de oppervlakte van dit vlak deel.

- ik heb de grafieken getekend en op dat interval is f(x)g(x) dus f(x)-g(x) om de integraal te krijgen, maar ik kom niet verder als dit;

2.e^(0.5x) - 1/(x+4) ik heb geprobeerd om links en rechts met x+4 te vermenigvuldigen maar dat maakte het alleen maar moeilijker, kunt u me helpen?

Vraag 2

Er wordt gevraagd om de coordinaten te bepalen van het snijpunt van deze functies:

f(x)= e^x-1 en g(x)= 2

dus e^x-1 = 2 hoe lost men dit op ?

ik weet e^x = 2
x = ln2 maar mijn inzicht schiet hier tekort want ik weet niet wat ik met die -1 moet doen.

shahra
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 15 juni 2003

Antwoord

Beste Shahram,
Je hebt dus twee functies en je wilt het ingesloten gebied op het intervan x=-2..2 bepalen.
Dit zal dus gelijk zijn aan de integraal op dat gebied van f(x) min die van g(x)
Eerst maar die van f(x) = 2·e^1/₂x
Voor de integraal hebben we dus een functie nodig die als we die zouden differentieren weer 2·e^1/₂x opleverd.
Nu is de integraal van e^x gelijk aan e^x weer. Met een beetje puzzelen kom je er snel achter dat 4·e^1/₂x voldoet aan onze eis.
Om de waarde te bepalen voeren we eerst x=2 in en krijgen zo:
4·e^1/₂·2=4·e
Hiervan trekken we af:
4·e^1/₂·-2=4·e^-1
Ofwel:
4·e - 4·e^-1 = 9.40 (afgerond).

Nu voor g(x) hetzelfde doen. Dit laat ik nu eerst aan jou over, maar je zult uitkomen op: ln(x+4) en dus
ln(2+4)-ln(-2+4) = ln(6)-ln(2)= ln(3)

We vinden dus zo uiteindelijk voor het ingesloten gebied:
4·e - 4·e^-1 - ln(3) = 8.30 (afgerond)

Dan nu je tweede vraag.
Het hangt er even vanaf wat je hier bedoelde.
Als je bedoeld e^x-1=2 dan zat je al aardig dicht bij het antwoord.
Je ziet zelf dat e^x=2 dan x = ln(2)
In dit geval dus e^x-1=2 dan x-1 = ln(2) en dus
x = ln(2) + 1
Als je het antwoord alleen met logaritmen mag schrijven dan zou je nog het volgende kunnen doen:
ln(x) = ^elog x en voor logaritmen geldt als ^xlog x = 1
Dus nu ook:
x = ln(2) + 1 = ln(2) + ln(e)
Maar ik vind persoonlijk x = ln(2) + 1 mooi genoeg.

Als je bedoelde e^x-1=2, dan is het antwoord simpel. Haal eerst die -1 naar de andere kant:
e^x=3
Dus
x = ln(3).

Goed hopelijk heeft dit geholpen.

M.v.g.
Peter

PHS
zondag 15 juni 2003

©2001-2024 WisFaq