Goedenavond, Ik zit met een klein probleempje. Als ik 2x=8 heb, weet ik dat x=3 want 23=2·2·2=8. Dat kan ik me prima voorstellen. Maar als ik (1/4)x=1/2 heb, dan kan ik me geen voorstelling maken bij (1/4)1/2. Ik weet natuurlijk hoe je dit kunt berekenen met een rekenmachine, maar om de uitkomst voor me te zien vind ik lastig.
Hetzelfde geldt voor een negatieve exponent, als ik bijv. 32 zie staan, dan weet ik dat ik dat kan zien als 3·3=9. Als ik 3-2 zie staan weet ik dat het te schrijven is als 1/(32), ook kan ik het natuurlijk weer berekenen met een rekenmachine. Het probleem is alleen weer dat ik me er geen voorstelling van kan maken. Mijn vraag is kan dat überhaubt wel, zo ja op welke manier dan?
Ralph
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 10 juni 2003
Antwoord
Ik ga een poging wagen... Allereerst, laat je niet afschrikken door grote breuken en dergelijke. Een en ander ziet er misschien angstaanjagend uit, maar hopelijk is het wel te volgen...
Je geeft zelf al aan dat 23 = 2·2·2 Ditzelfde principe geldt voor bijv. (1/4)2 Dit is 1/4·1/4 = 1/16.
Hoe kan je dit nu voor je zien? De exponent vertelt je hoe vaak je het getal op de grond met zichzelf vermenigvuldigd. Bijv 23 is drie maal het getal 2. Als het getal op de grond een breuk is geldt dit ook, maar het is makkelijker in te zien met een voorbeeldje, bijv. (1/4)2. De betekenis hiervan is: je hebt een taart verdeeld in 4 stukken en zo'n kwart verdeel je weer in vieren. Immers je had 1 stuk gedeeld door 4 en dat doe je maal zichzelf, je deelt het dus nogmaals door 4. Je houdt nu 1/16 deel over.
Nu staat er in jouw opgave net het omgekeerde, namelijk (1/4)1/2 = 1/2. In woorden: hoe kom ik uit op een halve taart, als ik begin met een kwart? Uit het voorgaande weten wel dat (1/2)2 = 1/4. Volg je dit? Tja... het omgekeerde he. Delen en vermenigvuldigen zijn omgekeerden van elkaar, net als optellen en aftrekken. Als je deelt door 3, kan je ook vermenigvuldigen met 1/3. Dat is precies hetzelfde! 8·3 = 24 en als ik van 24 terug wil naar 8, dan wordt dit 24/3 = 8 óf (wat precies hetzelfde is) 24 ·1/3 = 8 Dit principe, laten we het "1 gedeeld door" noemen, kunnen we ook toepassen op exponenten. 23 = 8 ...en 8(1/3) = 2. Terug naar de opgave... Omdat geldt dat 1/22 = 1/4 geldt terugrekenend dat 1/4(1/2) = 1/2 Dit laatste is moeilijk om je voor te stellen, maar misschien dat het met bovenstaande uitleg iets beter lukt. Ga bij iets tot de macht 1/2, 1/3 etc dus uit van wat er aan de rechterkant van het =-teken staat...
Wat betreft je laatste vraag over 3-2, kan ik alleen zeggen dat het minteken in de exponent gebruikt wordt om bijv. die lastige papiervullende breuken te ontwijken. Het is slecht een kwestie van notatie. Eenmaal teruggeschreven als 1/32 = 1/32 kun je het weer zien als 1/3 deel dat weer in 3 gedeeld is.
Ik hoop dat het zo iets duidelijker is, mocht je nog een vraag hebben dan horen we het wel!
