Je kunt het ook doen met veelhoeken (de oppervlakte van een cirkel bepalen). Hiervoor heb je het principe van Archimedes nodig, dat zegt dat je met veelhoeken cirkels kunt benaderen. Daarnaast hebben we de oppervlakteformule van een driehoek nodig. Dat is, zoals je misschien wel weet, oppervlakte Δ = 1/2 × basis × hoogte = hb/2 = b × 1/2 h. (dit kun je bewijzen door de driehoek 'uit te klappen') Nu nemen we een omgeschreven veelhoek met straal r. Omgeschreven betekent dat het een veelhoek is die om een cirkel heen staat en waarvan de zijden de cirkel raken. Deze veelhoek hoeft echter niet regelmatig te zijn. We nemen bijvoorbeeld een 7-hoek, een nogal onregelmatig figuur, als omgeschreven veelhoek. We delen de zevenhoek in driehoeken op. De hoogtelijn, die natuurlijk r is, is met een stippellijn aangegeven. De basis van elke driehoek is één van de zijden van de zevenhoek. Er geldt: oppervlakte 7-hoek = oppervlakte alle driehoeken. Hieruit komt voort:
oppervlakte 7-hoek = oppervlakte alle driehoeken oppervlakte één driehoek = 1/2 × basis × hoogte = 1/2 × b × r (want hoogte = r) oppervlakte alle driehoeken = 1/2 × alle bases × r = r/2 × alle bases
Omdat alle bases sámen de omtrek van de zevenhoek zijn, geldt: oppervlakte 7-hoek = 1/2 r × omtrek
Deze regel geldt niet alleen voor de zevenhoek, maar voor alle omgeschreven veelhoeken, dus ook voor veelhoeken die heel erg op een cirkel lijken. Passen we nu Archimedes’ principe toe, dan zal ook voor de cirkel uiteindelijk gelden: oppervlakte = 1/2 r × omtrek. Dan gebruiken we omtrek = 2 × $\pi$ × r. Hieruit volgt oppervlakte = 1/2 r× 2×$\pi$× r = $\pi$ × r2.
Hierbij hebben we de formule omtrek = 2$\pi$r al eerder bewezen, ook met in- en omgeschreven (regelmatige) veelhoeken.
Renske
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 1 juni 2003
Antwoord
"Misschien" minder moeilijk ja, maar in mijn antwoord komt toch een soort denken naar voren dat ingenieurs- of wetenschapsstudenten later nog meer te zien zullen krijgen.
Dit is een reactie op vraag 10707 
