Wij maken een wiskundewerkstuk over pi. Hiervoor moet ik de somformule van een meetkundige reeks zelf berekenen. Dit heb ik tot nu toe, maar ik kom niet verder:
We nemen het getal a. De vraag is om de oneindige reeks a0 (=1) + a1 + a2 ... uit te rekenen, mits deze convergeert (dus naar 0 gaat). Dat kan natuurlijk alleen als a(ABS, er staan hier geen absoluutstrepen) $<$ 1. Anders zou an niet eens naar 0 gaan als n$\to\to\infty$. We beginnen ermee om de som van de eerste n termen, voor een gegeven n, uit te rekenen. We noemen deze som Sn: Sn = 1 + a + a1 + a2 + ... + an-2 + an-1
En nu? ik weet niet hoe ik nu verder moet. Dit is niet de juiste (handige) somformule voor deze meetkundige reeks. Kunnen jullie me helpen? Alvast bedankt,Renske
Renske
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 31 mei 2003
Antwoord
In eerste instantie wil je graag een handige formule weten voor 1+a+a2+a3+...+an; Vervolgens ga je kijken hoe deze formule eruit ziet wanneer n$\to\infty$ gaat.
Om die handige formule te krijgen, gaan we uit van 1+a+a2+a3+...+an en vervolgens vermenigvuldigen we deze hele hap met (a-1)/(a-1) (Dit is immers hetzelfde als vermenigvuldigen met factor 1.) Zodoende krijg je iets simpels in de noemer (namelijk a-1), en iets ingewikkelds in de teller, namelijk (1+a+a2+...+an).(a-1) Wat in de teller staat, is ogenschijnlijk ingewikkeld, maar er komt iets vrij eenvoudigs uit. Laten we de teller eens een stukje uitschrijven. Eerst vermenigvuldige we alles met de a (van a-1) en daarna alles met de -1 (van diezelfe a-1 term). Dit levert:
a+a2+...+an+1-1-a-a2-a3-...-an Wanneer je hier goed naar kijkt, zal je opvallen dat de a's tegen elkaar wegvallen; de a2; de a3 enz... En wat je overhoudt is alleen de an+1 en de -1.
Zodoende krijg je de breuk (an+1-1)/(a-1)
Conclusie: 1+a+a2+a3+...+an = (an+1-1)/(a-1)
Deze formule geldt voor alle waarden van a, behalve 1. (waarom?)
Volgende stap: Nu laten we n$\to\infty$ gaan. Wanneer je kijkt naar de formule (an+1-1)/(a-1) dan zie je dat wanneer |a|$>$1 de teller 'explodeert' vanwege de term an+1. Echter, wanneer |a|$<$1 dan gaat de term an+1 voor n$\to\infty$ juist naar nul. (doe maar eens op je rekenmachine 100 keer 0,6 met zichzelf vermenigvuldigen. of -0,8 of ..)
Hieruit volgt dat voor n$\to\infty$ EN |a|$<$1, de formule voor 1+a+a2+...+an = (an+1-1)/(a-1) vereenvoudigt tot -1/(a-1). en -1/(a-1) is hetzelfde als 1/(1-a)
