Je hebt een plaat met een straal van 12 cm. Daarin zit 2 cm van het midden en 2 cm van de rand een gat met een straal van 4 cm. Wat is het zwaartepunt van deze plaat?
Anneli
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 15 mei 2003
Antwoord
Je moet gebruik maken van de volgende eigenschap.
Noem (x1,y1) de coordinaten van het massamiddelpunt van een eerste voorwerp met massa M1.
Noem (x2,y2) de coordinaten van het massamiddelpunt van een tweede figuur met massa M2.
Noem (xT,yT) de coordinaten van het massamiddelpunt van de figuur die bestaat uit de som van de vorige figuren. Die figuur heeft dan natuurlijk massa MT=M1+M2
Dan geldt:
MT.(xT,yT) = M1.(x1,y1) + M2.(x2,y2) (*)
of anders geschreven
(xT,yT) = [ M1.(x1,y1) + M2.(x2,y2) ] / MT
Uit die laatste uitdrukking zie je dat het massamiddelpunt van de som een gewogen gemiddelde is van de massamiddelpunten van de delen, en dat klopt met onze intuitie.
In jouw probleem mogen we veronderstellen dat de figuren homogeen zijn en dat dus de massa's M evenredig zijn met de oppervlaktes S. Noem voor de duidelijk de evenredigheidsfactor a, hoewel de resultaten duidelijk niet afhankelijk zullen zijn van a.
Figuur 1 is in jouw geval de plaat-met-gat. M1 = a.p.122 - a.p.42 (x1,y1) = onbekend
Figuur 2 is in jouw geval het stuk plaat dat in het gat past, en dat dus uit de volledige plaat is gesneden. M2 = a.p.42 (x2,y2) = (6,0)
Samen vormen ze de volledige plaat. MT = a.p.122 (x2,y2) = (0,0)
We kunnen nu vergelijking (*) oplossen
MT.xT = M1.x1 + M2.x2 MT.yT = M1.y1 + M2.y2
Je vindt
x1 = -3/4 y1 = 0
De y-coordinaat hadden we natuurlijk al kunnen vinden door rekening te houden met de symmetrie.
Of was het de bedoeling om het zonder eigenschappen te doen, rechtstreeks met de bewuste integralen?
