Hoe komt het dat getallenreeks met pi er in (bijv. de Arctan, Leibniz en Euler) oneindig lang zijn ondanks dat de breuken uit simpele getallen bestaan? bedankt
maren
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 13 mei 2003
Antwoord
Het kenmerk van een breuk is dat de decimalen óf op een bepaald moment stoppen óf dat ze gaan repeteren. Van beide een voorbeeld: bij 1/4 stopt het, want 1/4 = 0,25 en bij 1/7 gaat het repeteren, want 1/7 = 142857 142857 142857 ....
Omgekeerd: als je een getal opschrijft waarbij de deimalen gaan stoppen of repeteren, dan kun je er altijd een breuk van maken.
Men kan bewijzen dat het getal p een rij decimalen heeft die nooit stopt, maar ook nooit repeteert. Dat bewijs is overigens niet zo heel eenvoudig, maar dat doet voor jouw vraag niet ter zake. Omdat de decimaalontwikkeling van p dus niet stopt en ook niet repeteert, weet je zeker dat het geen breuk is. Maar dan moeten die getallenreeksen ook oneindig lang doorlopen, want als het maar een beperkt aantal mooie breuken zouden zijn, dan zou je ze 'eventjes' optellen en dan zou je als eindresultaat een breuk gevonden hebben die gelijk zou zijn aan p. En dat kan dus niet! Zie boven.
