\require{AMSmath}

Parabolen

Ik heb hier de volgende eigenschappen van parabolen:

1. een parabool is een verzameling punten even ver van een vast punt ( het brandpunt), als van een vaste lijn.
2. bij een tweedegraadsfunctie zijn de 'tweede verschillen', die je krijgt als je een tabel maakt, constant.

hoe kan je deze stellingen bewijzen? (plaatjes zijn welkom)

mayke
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 10 mei 2003

Antwoord

We nemen f(x)=x².

1.
We hebben hier F(¹/₄,0) als brandpunt en als richtlijn de lijn y=-¹/₄.

Te bewijzen:
Voor een willekeurig punt van de parabool A(a,a²) geldt:
d(A,F)=d(A,r)

Bewijs:
Ö(a²+(a²-¹/₄)²)=a²+¹/₄
Ö(a²+a⁴-¹/₂a²+¹/₁₆)=a²+¹/₄
Ö(a⁴+¹/₂a²+¹/₁₆)=a²+¹/₄
Ö((a²+¹/₄)²)=a²+¹/₄
a²+¹/₄=a²+¹/₄

2.
We kiezen Dx=1. Dan is de eerste verandering van f voor x=a gelijk aan:
f(a+1)-f(a)=(a+1)²-a²=a²+2a+1-a²=2a+1
De eerste verandering van f wordt beschreven door een lineair verband, dus de tweede verandering is constant.

Zie ook: Brandpunt en richtlijn van een parabool

WvR
zaterdag 10 mei 2003

©2001-2024 WisFaq