\require{AMSmath}

Zwaartepunt van een piramide

Hoe kan je wiskundig bewijzen wat het zwaartepunt van een piramide is?

Britt
3de graad ASO - donderdag 8 mei 2003

Antwoord

Heel algemene meetkundige stellingen (er is hier bvb niks specifieks gegeven over de piramide) worden vaak op een eenvoudige manier bewezen met behulp van vectoren. Verder veronderstel ik dat je een piramide bedoelt met een driehoekig grondvlak. Voor een vierhoekig grondvlak zie ik namelijk niet meteen een *meetkundige* definitie voor het begrip zwaartepunt.

In wat volgt zijn alle puntenparen XY te interpreteren als vectoren.

Noem de vier hoekpunten van de piramide A,B,C en D. Neem ook een willekeurig punt O dat de oorsprong symboliseert. Je zou dat punt O op een van de hoekpunten kunnen leggen, maar dan verlies je de symmetrie in de volgende afleiding. Eerst enkele definities, zodat je goed inziet wat we eigenlijk proberen te bewijzen en waar we van vertrekken.

Men zou het zwaartepunt van een lijnstuk AB kunnen definieren als het midden van dat lijnstuk. Vectorieel geldt er dus voor dat punt: OP = [OA+OB]/2. Het zwaartepunt van het lijnstuk deelt het lijnstuk middendoor (dus in stukken die zich verhouden als 1:1).

Men definieert dan een zwaartelijn van een driehoek als een lijn die een hoekpunt verbindt met het zwaartepunt van het tegenoverliggende lijnstuk.

Je hebt ook in vroegere jaren al gezien dat alle zwaartelijnen van een driehoek door een punt gaan dat men het zwaartepunt van die driehoek ABC noemt. Vectorieel geldt er voor dat punt: OQ = [OA+OB+OC]/3. Het zwaartepunt van de driehoek deelt de zwaartelijnen in stukken die zich verhouden als 1:2.

We definieren nu een zwaartelijn van de piramide als een lijn die een hoekpunt verbindt met het zwaartepunt van de tegenoverliggende driehoek.

We definieren tenslotte zwaartepunt van een piramide ABCD als het gemeenschappelijke punt van alle zwaartelijnen van de piramide, als dat punt zou bestaan. De analogie van de vorige formules doet ons vermoeden dat dat punt wel eens vectorieel zou kunnen gegeven worden door OZ = [OA+OB+OC+OD]/4 en dat dat punt de zwaartelijnen verdeelt in stukken die zich verhouden als 1:3. Dat gaan we nu proberen aantonen.

Noem V het zwaartepunt van de driehoek ABC:

OV = [OA+OB+OC]/3

Noem Z onze gok voor het zwaartepunt van de piramide ABCD

OZ = [OA+OB+OC+OD]/4

We willen bewijzen dat het punt Z wel degelijk op de zwaartelijn uit D ligt, en ook dat het punt Z die lijn verdeelt in stukken die zich verhouden als 1:3.

Beide vereisten kunnen we in 1 vectoriele eis noteren, namelijk DZ = 3 ZV

Nu is

DZ = OZ-OD
= [OA+OB+OC+OD]/4 - OD
= [OA+OB+OC-3OD]/4

ZV = OV-OZ
= [OA+OB+OC]/3 - [OA+OB+OC+OD]/4
= [OA+OB+OC-3OD]/12

zodat inderdaad DZ = 3 ZV. In wat voorafging is het punt D willekeurig gekozen. We hebben dus evenzeer aangetoond dat

AZ = 3 ZW
BZ = 3 ZX
CZ = 3 ZY

Het punt Z ligt dus op alle zwaartelijnen en deelt al die zwaartelijnen in delen die zich verhouden als 1:3. Met andere woorden, Z is het zwaartepunt van de piramide!

cl
vrijdag 9 mei 2003

©2001-2024 WisFaq