\require{AMSmath}

Formule voor herhalingscombinaties

Hoi,
Wij moeten een formule moeten bedenken die het aantal mogelijkheden geeft die er zijn als de volgorde niet uit maakt maar je mag wel terugleggen bij kansberekening.

Ik weet niet precies hoe je het moet uitleggen maar we weten in ieder geval niet hoe je die formule moet bedenken. Kunt u ons misschien een beetje uitleggen hoe je dat moet doen? We zijn er al een hele tijd mee bezig en we weten niet hoe het moet.

Alvast bedankt

Martin
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 27 april 2003

Antwoord

Een concreet voorbeeld.

We moeten een ploeg van 10 veldspelers samenstellen uit 3 groepjes (evenwaardige) spelers (verdedigers, middenvelders en aanvallers).

De volgorde waarin we onze ploeg samenstellen is van geen belang, het is het uiteindelijke resultaat dat telt. Als we een speler van een bepaalde groep hebben gekozen, staat niets ons in de weg om er weer een uit die groep te nemen. We hebben dus te maken met een mogelijke herhaling of teruglegging.

Een aantal mogelijke keuzes:

AAAAAMMMVV
AAMMMMMMMV
AAAAVVVVVV
MMMMMMMMMM

We kunnen dat ook op een andere manier noteren:

.....|...|..
..|.......|.
....||......
|..........|

Als we de afspraak maken dat het aantal puntjes voor de eerste verticale streep het aantal aanvallers voorstelt, het aantal puntjes tussen de twee verticale strepen het aantal middenvelders voorstelt en het aantal puntjes na de tweede verticale streep het aantal verdedigers voorstelt.

Elke "puntjes-streepjes"-configuratie stemt overeen met een unieke mogelijke opstelling van onze ploeg en omgekeerd. We zouden dus nu moeten kunnen uitpluizen hoeveel "puntjes-streepjes"-configuraties er mogelijk zijn.

En dat is niet zo moeilijk. Dat is gelijk aan het aantal manieren om de plaatsen te kiezen voor de streepjes, waarbij de volgorde van geen belang is en een plaats niet door twee streepjes kan bezet worden, dus geen herhalingen. Gewone combinaties dus.

aantal streepjes
= aantal groepen - 1

aantal plaatsen voor de streepjes
= aantal puntjes + aantal streepjes
= aantal spelers + aantal groepen - 1

Conclusie: Het aantal "herhalingscombinaties" van R elementen uit N groepen is dus gelijk aan het aantal gewone combinaties van (N+R-1) elementen uit (R-1) groepen [en dat is ook het aantal combinaties van (N+R-1) elementen uit N groepen, want je kan natuurlijk ook de plaatsen waar GEEN streepjes mogen staan kiezen, dat maakt niet uit]

cl
zondag 27 april 2003

©2001-2024 WisFaq