Ik heb een vraag over een opdracht die ik heb gekregen, In een toernooi met 2, 4, 8, 16, 32 en 64 spelers moet ik de kans bepalen dat Theo en Hans tegen elkaar spelen. Dit moet twee keer berekend worden, een keer met een winst kans van 1/2 en een van 1/3.
Bij het toernooi van 2 spelers is de kans natuurlijk 1. Bij het toernooi van 4 spelers is de kans : 1/3+ 1 x 1/2 = [5/6] die 1/3 komt doordat er drie combinaties mogelijk zijn:
AB - CD AC - BD AD - BC
Mijn vraag is, hoe bereken je het aantal combinaties bij de toernooien van 8, 16, 32 en 64 spelers, of is daar een handige formule voor op te stellen?
Demian
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 24 april 2003
Antwoord
8 personen: In de eerste ronde heb je 7 mogelijke tegenstanders die allemaal even waarschijnlijk zijn. De kans dat je je maat hier treft is 1/7. Wanneer je hem niet treft (kans 6/7) dan wordt de kans dat beiden doorgaan nemen 1/22. Vervolgens is de kans 1/3 dat je je maat treft. Wanneer je hem niet treft (kans 2/3) wordt de kans vervolgens 1/22 dat beiden doorgaan en dan treffen ze elkaar zeker in de finale...... dus: 1/7+6/7·1/4·(1/3+2/3·1/4·1)=0,25..... Dat was the hard way.
En nou de verrassende manier om het (met kans 1/2) allemaal veel makkelijker te doen: Bij 8 deelnemers heb je altijd 7 wedstrijden. Met 8 deelnemers kan ik (8 boven 2) combinaties = 28 combinaties maken. De kans dat je elkaar treft is nu 7/28. Bij 64 deelnemers heb je altijd 63 wedstrijden. Met 64 deelnemers zijn (64 boven 2) is 2016 combinaties te maken. De kans dat je elkaar treft is dus 63/2016 = 0,03125. Dit gaat echter alleen goed bij gelijke kansen (dus 1/2) om door te gaan voor alle spelers. Bij kans 1/3 ben je gebonden aan de eerste manier.
ps bij 4 spelers wordt de kans uiteindelijk 1/3 + 2/3·1/4 = 1/2
