\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 10070

Re: De rij van Fibonacci en de stelling van Pythagoras

Beste DK,
Hartelijk dank voor dit antwoord; raar dat ik dat niet zag. Maar ik moet dit verband ook eens bewijzen. Alleen ik heb geen idee hoe ik dat zou moeten doen. Kunnen jullie mij opweg helpen?
Met hartelijke groet,

Boris
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 22 april 2003

Antwoord

Vier opeenvolgende getallen van de rij van Fibonacci zijn:
a, b, a+b, a+2b
Product van de buitenste termen: a(a+2b) = a² + 2ab
Dubbele product van de twee binnenste: 2b(a+b) = 2ab + 2b²
Kwadrateren en optellen geeft:
(a²+2ab)² + (2ab+2b²)² = (... werk zelf uit) = (a² + 2ab + 2b²)²
Hier hebben we de Stelling van Pythagoras dus toegepast.
Nu moeten we laten zien, dat het getal a² + 2ab + 2b² inderdaad in de Fibonacci-rij voorkomt.
Wat we direct zien, is:
a² + 2ab + 2b² = b² + (a+b)²
De vraag is dus of de som van de kwadraten van twee op elkaar volgende Fibonacci-getallen ook weer een Fibonacci-getal is.
We zetten bovenstaande beginrij wat verder voort:
a
b
a + b = 0.b + 1.(a+b)
a + 2b = 1.b + 1.(a+b))
2a + 3b = 1.b + 2(a+b)
3a + 5b = 2b + 3(a+b)
5a + 8b = 3b + 5(a+b)
...
We zien dat de coëfficiënten in de rechterleden (de coëfficiënten van b en van a+b) elk weer een Fibonacci-rij vormen. We komen dus op een zeker moment de waarden a en a+b in die rijen tegen. Dus:
b² + (a+b)² = b.b + (a+b)(a+b)
is weer een Fibonacci-getal.

dk
dinsdag 22 april 2003

©2001-2024 WisFaq