WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Afstand van punt naar kromme

Gegeven punt x₁,y₁ en kromme y = x·x.Kan er een algemene formule opgesteld worden voor de afstand van punt x₁,y₁ naar de kromme.
N.B. Trek een lijn $\lambda$₁ door punt x₁,y₁ en bepaal snijpunt x₂,y₂ met de kromme. Indien lijn $\lambda$₁ loodrecht staat op raaklijn van de kromme in punt x₂,y₂ dan is de afstand gelijk aan
√(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)

Dirk L
Ouder - woensdag 18 oktober 2023

Antwoord

Er is een formule maar die is een beetje ingewikkeld. Ik noem het punt even $(a,b)$.
De raaklijn aan $y=x^2$ in het punt $(x,x^2)$ heeft $(1,2x)$ als richtingsvector, en de lijn door $(a,b)$ en $(x,x^2)$ heeft $(x-a,x^2-b)$ als richtingsvector. Als we hun inwendig product gelijk aan nul stellen komt er
$$1\cdot(x-a) + 2x\cdot(x^2-b)=0
$$ofwel
$$2x^3 -(2b-1)x -a=0
$$Dat is een derdegraadsvergelijking, en die kun je oplossen met behulp van de Formule van Cardano. Daarom brengen we de vergelijking in de passende vorm.
$$x^3+\frac{1-2b}{2}x+(-a)=0
$$met $p=\frac{1-2b}{2}$ en $q=-a$ dus.
Dan wordt de oplossing
$$x=\sqrt[3]{\frac{a}2+\sqrt{\frac{a^2}4 +\frac{(1-2b)^3}{8\cdot27}}} +
\sqrt[3]{\frac{a}2-\sqrt{\frac{a^2}4 +\frac{(1-2b)^3}{8\cdot27}}}
$$Dan is de coördinaat $x_2$ van het gezochte punt op de kromme dus gelijk aan deze uitdrukking, en $y_2$ is hier het kwadraat van.
Ten slotte moet je dan dus $(x_2-a)^2+(x_2^2-b)^2$ netjes uitwerken.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 18 oktober 2023