WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Perforatie en asymptoot

Geachte,
Kunt u mij helpen? Ik ben mij aan het voorbereiden op een toets en stuitte op de volgende opgave, waar ik niet helemaalde oplossing van kan vinden:
De functie f heeft als domein $\mathbf{R}$ \{1\2} en wordt bepaald door het functievoorschrift f(x) = (ax²+ bx -2) : ((2x-1)(x+2)) als x E $\mathbf{R}$ \{1\2,-2} en f(-2) = -5
Bepaal a en b zodat de functie een horizontale asymptoot y=-4 heeft en continu is voor alle punten in het domein van f.

Ik heb de limiet genomen voor x naar oneindig en vind: a:2=-4; dus a=-8.
Maar dan de b??? Je kunt voor x geen -2 invullen, want dan wordt de noemer 0. Ook heb ik een aantal grafieken getekend met een willekeurige b en telkens, zie ik een perforatie(?) bij x =-2. Hoe kan dan het punt (-2,-5) op de grafiek van f liggen...
Hoe interpreteer ik domein R\{1\2} en x is een element van R\{1\2, -2} en hoe bereken ik b (als die al bestaat?

Alvast bedankt voor uw hulp!
Met vr. groet,
Kirsten
Kirste
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 20 mei 2023

Antwoord

Hallo Kirsten,

Het domein $\mathbf{R}$ \{¹/₂} betekent dat de functie bestaat voor elke reële waarde van x, behalve voor x=¹/₂. Je mag dus elke waarde voor x kiezen, behalve x=¹/₂.

Vervolgens staat er: je vindt de functiewaarde van f(x) (dus: de 'uitkomst' van f als je een bepaalde waarde van x kiest) door de formule f(x)=(ax²+bx-2):((2x-1)(x+2)) in te vullen, behalve voor de waarden x=¹/₂ en x=-2. We wisten al dat je niet x=¹/₂ mag kiezen, want daarvoor is de functie niet gedefinieerd. Ook voor x=-2 mag je de formule niet gebruiken. Dat is maar goed ook, want dan zou je delen door nul, dat levert problemen op. In plaats daarvan is apart gedefiniëerd: f(-2)=-5.

De functie is continu wanneer de grafiek van f(x) naar y=-5 gaat wanneer x naar -2 gaat. In dat geval krijg je toch een gladde grafiek: de grafiek van de formule zou een perforatie hebben bij x=-2 (dus: een oneindig kleine opening), maar deze opening wordt precies opgevuld door het los gedefinieerde punt f(-2)=5.

In het algemeen verwacht je een verticale asymptoot wanneer de noemer van een breuk nul wordt (hier dus: bij x=-2), maar dit kan een perforatie zijn wanneer tegelijkertijd de teller nul wordt. Zoek dus een waarde van b, zodanig dat teller gelijk wordt aan nul bij x=-2. Je wist al: a=-8. Je moet dus oplossen:

-8·(-2)² + b·-2 -2 = 0

Ik vind: b=-17. Jij ook?

Je zult zien dat je bij b=-17 in de teller (x+2) buiten haakjes kunt halen. Voor x ongelijk aan -2 kan je de factoren (x+2) in de teller en noemer tegen elkaar wegdelen. Je krijgt dan een 'gladde' grafiek, alleen het punt (-2, 5) ontbreekt in de grafiek van de formule. Omdat apart is gedefinieerd: f(-2)=5, is de grafiek toch 'gesloten' en is de functie continu op het gehele domein.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 20 mei 2023