WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Predicatenlogica

Gegeven een land X en volgende twee uitspraken:

Er bestaat een koning K zodat voor elke inwoner van land X geldt dat K de koning van die inwoner is.

Voor elke inwoner van land X bestaat er een koning K waarvoor geldt dat K de koning van die inwoner is.

Vraag : hebben beide uitspraken dezelfde waarheidswaarde?

Als je er logischerwijze vanuit gaat dat er in land X slechts één enkele koning is dan hebben beide uitspraken dezelfde waarheidswaarde.

Maar wat als er in land X meerdere koningen zouden zijn?
Stel er zijn twee koningen K1 en K2.

In de eerste uitspraak ga je er dan toch vanuit dat één en dezelfde K koning is van alle inwoners, in de tweede uitspraak hoeft dat niet zo te zijn en kan K1 koning zijn voor een aantal inwoners en K2 koning voor de overige inwoners. En dan hebben beide uitspraken mijn inziens niet meer dezelfde waarheidswaarde. De tweede uitspraak is nog steeds waar terwijl de eerste uitspraak onwaar is geworden. Klopt deze redenering?
Rudi
Ouder - zondag 23 augustus 2020

Antwoord

Je redenering klopt.
Als je dit netjes wil analyseren moet je een predicaat $K$ met twee variabelen invoeren.
Je eerste uitspraak wordt
$$(\exists k)(\forall x)K(x,k)
$$de tweede wordt
$$(\forall x)(\exists k)K(x,k)
$$Wat je hebt laten zien is hoe je een interpretatie van $K$ kunt maken waarin de tweede uitspraak geldig/waar is en de eerste niet.
Je moet wel zo'n interpretatie expliciet maken.

Laten we voor $X$ de verzameling $\{1,2,3,4\}$ nemen en specificeren dat alleen $K(1,1)$, $K(2,1)$, $K(3,3)$ en $K(4,3)$ gelden.
De eerste bewering is dan ongeldig en de tweede is wel geldig (er zijn inderdaad twee `koningen': $1$ en $3$).

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 23 augustus 2020