WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Re: Formule van Euler

Dit is een reactie op vraag 89512

Beste,

Nee dat is ook niet de bedoeling dat je mijn huiswerk gaat maken, maar om mij te helpen en te sturen om mijn huiswerk af te ronden als ik iets niet zie en/of niet snap. Precies wat jij vertelde, heb ik ook gedaan. Ik heb alle gegevens op papier geschreven:

Ik ben begonnen met oriëntatie:
· ik ben begonnen met de volledige restklassen. Ik heb Modulo 14 als voorbeeld genomen.
· daarna heb ik de stelling van ggd(a,m) = 1 of ongelijk aan 1 opgesteld... om te laten aan de medestudenten zien dat als de ggd(a,m)=1 is, dan bestaat één inverse en de getallen daarvan zijn relatiefpriem. En die getallen worden phi van m genoemd.
· daarna heb ik de eigenschappen van phi genoemd:
- phi (p) = p-1
- phip^k = P^k-1·(p-1)
- phi(p.q) = (p-1)·(q-1)
Natuurlijk ga ik hieruit dat p en q priemgetallen zijn. dat is oriëntatie in het algemeen.

Plan maken en uitvoeren:
Hier wil ik de formule van Fermat gebruiken om te laten zien dat deze formule niet voor alle getallen geschikt is ( Bij Fermat moeten de getallen priem zijn en p niet deler van a is), dan pas ga ik richting Euler toe. Eulerhad geen problemen met de getallen niet priem zijn, als in plaats van m phi de m wordt gebruikt... bijvoorbeeld: (p-1)·(q-1)nemen.

Hier is mijn vraag: hier loop ik beetje vast: hoe zal ik formule van Fermat opstellen en naar de stelling van Euler toe. M.a.w. de stappen die ik moet volgen om van Fermat naar Euler. Hier heb ik hulp voor nodig.

Hoop ik dat mijn vraag nu duidelijker is.

De groeten van M
M
Student hbo - vrijdag 3 april 2020

Antwoord

Er lijken nog steeds dingen door elkaar te lopen: uit je eerste en derde vraag begreep ik dat je het (een) bewijs
$$\varphi(n)= n\prod_{i=1}^k\left(1-\frac1{p_i}\right)
$$wilde uitleggen
Onderweg, bij de tweede vraag leek het om
$$a^{\varphi(n)}\equiv 1\bmod n
$$te gaan.
Nu zie ik niet goed meer wat je einddoel is.
Je blijft bij de berekening van $\varphi$ steken bij het product van twee priemgetallen. De formule van Fermat is een speciaal geval van de formule van Euler; dat zou ik in ieder geval duidelijk maken. Verder is er geen echt verschil tussen de bewijzen. En voor de formule van Euler hoef je $\varphi(n)$ niet expliciet uit te rekenen; de definitie is genoeg.
Ik zou de getalen $d$ in $\{1,2,\ldots,n\}$ met $\operatorname{ggd}(d,n)=1$ verzamelen in de verzameling $D$. Al wat je moet weten is dat $\varphi(n)=|D|$.
Neem een $a\in D$, dan geldt dat $\{a\cdot d:d\in D\}=D \pmod{n}$.
Dus het product, $\prod D$, van alle elementen van $D$ is modulo $n$ gelijk aan het product van alle $a\cdot d$ met $d\in D$; conclusie
$$a^{\varphi(n)}\prod D\equiv \prod D \bmod n
$$en dan ben je er.
Ik zou misschien eerst Fermat doen en vervolgens $\varphi(n)$ definieren en daarna zeggen dat hetzelfde bewijs de formule van Euler oplevert.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 7 april 2020

Re: Re: Re: Re: Formule van Euler