WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Rekenregels voor machten

Geachte collega,

Graag stel ik de volgende vraag het gaat om machten en wortels, er komen verschillende antwoorden uit dit kan toch niet!

Bijvoorbeeld de zesdemachts wortel uit (-1)^2 = 1 dit klopt,
het zou gelijk moeten zijn aan (-1)^(2/6) maar hier komt -1 uit.

Mijn vraag hoe gaan we officieel om bij machten en negatieve grondtallen?
Rekenregels voor machten

Henk L
Docent - donderdag 28 november 2019

Antwoord

Het is een misvatting dat $\sqrt[6]{(-1)^2}$ en $(-1)^{\frac26}$ aan elkaar gelijk zouden moeten zijn. Het eerste is een samenstelling van twee bewerkingen: eerst kwadrateren en dan zesdemachtswortel nemen. Het tweede is één bewerking: een macht van $-1$ met een rationale exponent, en daar moet hetzelfde uitkomen ongeacht de manier waarop je dat getal representeert, dus $\frac13$, $\frac26$, $\frac{100}{300}$. $\dots$ moeten allemaal dezelfde uitkomst opleveren. Het meest voor de hand liggende is dan: eerst breuk vereenvoudigen en dan $\sqrt[n]{(-1)^t}$ waarbij $t$ en $n$ de teller en noemer zijn.

Voor negatieve grondtallen betekent dit dat een $q$-de macht niet altijd voorhanden is binnen de reële getallen, en dat maakt het opstellen van `officiële' regels wat lastig.

Binnen de complexe getallen is meer mogelijk, maar dan moet je rekening houden met het feit dat $(-1)^{\frac13}$ drie verschillende waarden heeft: $-1$, $\frac12\pm\frac12\sqrt3 i$ (en, nee, geen van die drie is uitverkoren de `echte' waarde te zijn).

Zie ook de onderstaande link naar de WiskundEbrief.
Zie WiskundEbrief

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 28 november 2019