WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Vergelijkingen oplossen met formulessymmetrie

Dit is een reactie op vraag 86517

Hoi,
Bedankt! De regel van cos(2x) kende ik nog niet, na het toepassen op sommen begrijp ik het.
Ik heb vraag 2 inderdaad correct overgenomen van het boek. Ik kom echter uit op sin(x) = 0 V sin(x) = 1. Klopt dit?
Verder snap ik niet helemaal hoe je tan(x) = sin(x) oplost. Ik begrijp niet helemaal wat ik met die breuk moet doen. Ik heb geprobeerd de noemers gelijk te maken, dan krijg je dit(volgens mijn berekening):
^{sin(x)sin(x)-sin(x)cos(x)}/_sin(x)cos(x)
sin²(x)-1 = 0
sin(x) = -1 V sin(x) = 1

Verder probeer ik de regels steeds toe te passen, lukt heel vaak alleen kwam ik weer een gevalletje tegen waar ik niet uit kwam:
Buigpunten zoeken van f(x) = 2cos(x)-cos(2x)
f'(x) = -2sin(x) + 2sin(2x)
f''(x) = -2cos(x) + 4cos(2x)
f''(x) = 0 oplossen doe ik zo:
-2cos(x) + 4cos(2x) = 0
-2cos(x) + 4(2cos²(x)-1) = 0
-2cos(x) + 8cos²(x)-4 = 0
-2cos(x) + 8cos²(x) = 4
cos(x) - 4cos²(x) = -2
cos(x) + cos²(x) = ¹/₂
cos(x)(1+cos(x))
cos(x) = ¹/₂ V cos(x) = -¹/₂
Echter bevinden de buigpunten zich op andere punten.

Alvast bedankt!
Tobias
Student hbo - vrijdag 29 juni 2018

Antwoord

Hallo Tobias,

Je antwoord bij vraag 2 klopt niet:
2cos²(x)-2sin(x)=0
cos²(x)-sin(x)=0

Met sin²(x)+cos²(x)=1, dus cos²(x)=1-sin²(x) wordt dit:

-sin²(x)-sin(x)+1=0
sin²(x)+sin(x)-1=0

Invullen van sin(x)=-1 of sin(x)=1 laat snel zien dat dit geen juiste oplossingen zijn.

Dan:
tan(x)=sin(x)
^sin(x)/_cos(x)= sin(x)
Met inzicht:
sin(x)=0, want dan staat er: 0/cos(x)=0, dus 0=0 (voor cos(x) ongelijk 0).
Of cos(x)=1, want dan staat er: sin(x)/1=sin(x), dit is juist voor elke waarde van sin(x).

Of:
Schrijf sin(x) als ^sin(x)/₁ en kruislings vermenigvuldigen:
1·sin(x)=sin(x)·cos(x)
sin(x)-sin(x)·cos(x)=0
sin(x)(1-cos(x))=0
sin(x)=0 of 1-cos(x)=0
sin(x)=0 of cos(x)=1

Tot slot buigpunten:
Tot en met hier gaat het goed:
cos(x)-4cos²(x)=-2

Maar bij delen door 4 vergeet je cos(x) te delen door 4. Verder ontbreekt in de volgende regel het rechterlid. Ik neem aan dat hier nog hoort te staan: =¹/₂. Je vergelijking heeft dan deze vorm:

A·B=¹/₂

Maar dan zijn de oplossingen toch niet A=¹/₂ of B=¹/₂? ¹/₂ keer 'iets' is toch niet automatisch gelijk aan ¹/₂?
Deze 'truc' werkt alleen bij een rechterlid gelijk aan 0:

A·B=0 levert: A=0 of B=0 (want 0 keer 'iets' is wel altijd gelijk aan 0).

Dus:
vergelijking herleiden op nul (links en rechts ¹/₂ aftrekken, zodat rechterlid nul wordt)
Stel cos(x)=p, los de kwadratische vergelijking op
Je weet nu de waarde van p, dus de waarde van cos(x)
x=cos^-1(p) + k·2$\pi$ enz.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 1 juli 2018