WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Gebeurtenissen definiëren

Hallo

Ik heb eigenlijk een algemene vraag.
Neem nu bijvoorbeeld volgend vraagstuk:
Een politiekantoor krijgt op een normale dag gemiddeld 3 meldingen van inbraak. Gemiddeld eens in de 20 dagen is er een dievenbende actief. Deze bende pleegt dan op één dag alleen al gemiddeld 3 inbraken, maar dit aantal varieert afhankelijk van hoe vlot het verloopt. Men mag het aantal inbraken van de bende en van andere meldingen modelleren als Poisson verdeeld. De voorbije werkweek (5 werkdagen) noteerde de politie 20 inbraken. Hoe groot is de kans dat de bende ten minste 1 dag actief is geweest in de politiezone.
Ik heb dit vraagstuk opgelost maar kwam totaal verkeerd uit gezien ik mijn toevalsveranderlijken anders definieerde.
Ik had gedefinieerd
X1 : aantal inbraken gemeld door gewone meldingen
X2 : aantal inbraken gemeld door de dievenbende
En dan beiden gemodelleerd als Poisson verdeeld.
Nu is de oplossing echter:
X: aantal dagen actief (binomiaal verdeeld)
Y: aantal meldingen
Hoe weet ik dit ? Ik maak hier heel vaak fouten in, is er een soort van algemeen stappenplan dat ik kan volgen om te weten welke toevalsveranderlijken ik moet gebruiken?
Alvast bedankt voor het antwoord!!

Julie
Student universiteit - zondag 15 januari 2017

Antwoord

Je kunt dit niet van te voren weten maar door wat nadenken. Jouw variabelen $X_1$ en $X_2$ zeggen niets over het aantal dagen dat de bende actief is geweest en dat zou al een belletje moeten laten rinkelen.
Je hebt vjf dagen gekregen en elke dag is de kans dat de bende actief is gelijk aan $1/20$; het aantal actieve dagen, $X$, is dus binomiaal verdeelt met $n=5$ en $p=\frac1{20}$.
Daarnaast heb je het aantal meldingen, $Y$. Dat heeft een verdeling die afhankelijk is van $X$.
Dat zijn de enige variabelen die in het vraagstuk voorkomen; het is dus vooral een kwestie van goed lezen.

De kans dat $Y=20$ is gelijk aan de som van zes termen: $P(Y=20\mathrel|X=i)\times P(X=i)$, $i=0,1,2,3,4,5$ en die moet je dus allezes uitrekenen.
Daarna moet je $1-P(X=0\mathrel|Y=20)$ hebben en dat gaat met de formule van de voorwaardelijke kans.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 15 januari 2017