WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Machtsindex

Hallo

Ik kom niet verder met volgende opdracht:

De VN veiligheidsraad, bestaande uit 5 permanente leden (USA, RUS, CHN, GBR, FRA) en 10 niet-permanente leden kan belangrijke beslissingen alleen maar een resolutie aannemen als alle vijf de permanente leden vóór stemmen (veto) én minstens 4 van de overige 10 vóór stemmen.

Geef het spel voor de VN-veiligheidsraad.
LC
Student hbo - zaterdag 29 oktober 2016

Antwoord

Hallo Lauren,

Jouw vraag betreft de Shapley–Shubik machtsindex, zie Wikipedia: Shapley–Shubik power index. Om deze te berekenen voor de permanente en niet-permanente leden, geven we eerst elk niet-permanent lid 1 stem en de permanente leden n stemmen. De vraag is dan: welke waarde moeten we n geven zodat de permanente leden een veto kunnen uitspreken, en minstens 4 van de overige leden vóór moeten stemmen om een voorstel te kunnen aannemen?

De redenatie is als volgt:
Om een voorstel aangenomen te krijgen, zijn minimaal 5n+4 stemmen nodig (5n van de permanente leden, plus 4 van de niet-permanente leden);
Een voorstel moet verworpen worden wanneer er slechts 4n+10 stemmen zijn (één permanent lid stemt tegen, de rest is voor).
Conclusie:
5n+4 moet één stem meer zijn dan 4n+10.

In formule: 5n+4 = 4n+10+1

Uitwerken levert: n=7

De permanente leden krijgen ieder dus 7 stemmen, de niet-permanente leden krijgen ieder 1 stem, een voorstel wordt aangenomen wanneer er minimaal 39 stemmen vóór zijn.

De Shapley–Shubik machtsindex van een land geeft aan in welk percentage van alle mogelijke stemvolgordes dit land de beslissende stem uitbrengt, dus de 39e stem. Een eenvoudig voorbeeld is wanneer de permanente leden eerst stemmen, en daarna de niet-permanente leden. Na 5 permanente leden en 3 niet-permanente leden zijn 5·7+3=38 stemmen uitgebracht. Bij deze volgorde brengt het volgende land (het 4e niet-permanente lid) een beslissende stem uit.
Dit zouden we moeten doen voor alle mogelijke volgordes, dan kunnen we voor elk land berekenen wat het percentage volgordes is waarbij dat land de 39e stem uitbrengt.

Het berekenen van deze indices is een hoop werk omdat er veel mogelijke volgordes zijn waarin gestemd kan worden. Gelukkig zijn hier programmaatjes voor, zoals deze Weighted Voting Power Calculator. Neem als invoer:

Weight: 7 Multiplicity:5
Weight: 1 Multiplicity:10
Quota: 39

en je vindt:
SSPI (=Shapley–Shubik Power Index) voor permanente leden is 19,627% en voor niet-permanente leden 0,186%.

Omdat dit probleem vrij overzichtelijk is, kunnen we de berekening ook nog wel zelf uitvoeren. Een permanent lid (neem als voorbeeld USA) brengt een beslissende stem uit wanneer de overige vier permanente leden + 4 niet-permanente leden geweest zijn. USA moet dus op plaats 9 of verder staan.
Wanneer USA op plaats 9 staat, dan moeten de overige 4 permanente leden over de eerste 8 plaatsen worden verdeeld. Het aantal mogelijkheden hiervoor is 8!/4!=1680.
Wanneer USA op plaats 10 staat, dan verdelen we de overige 4 permanente leden over de eerste 9 plaatsen. Aantal mogelijke volgordes: 9!/5!=3024.
Zo gaan we verder: het aantal volgordes van permanente leden waarbij USA het laatste permanente lid is en op plaats 9 t/m 15 staat, is dan:

8!/4! + 9!/5! + 10!/6! + ... + 14!/10! = 70728

Bij al deze mogelijke volgordes kunnen de overige 10 leden in willekeurige volgorde worden geplaatst, hiervoor zijn 10! mogelijkheden. Het aantal mogelijke volgordes waarbij USA een beslissende stem uitbrengt, is zodoende 70728·10!.
In totaal zijn 15! volgordes mogelijk.
De proportie volgordes waarbij USA een beslissende stem uitbrengt, is dan:

70728·10!/15! = 0,19627 (dit komt overeen met 19,627%)

Dezelfde proportie vinden we natuurlijk voor de overige permanente leden, samen zijn zij dus goed voor een proportie van 5·0,19627=0,98135.

Voor de overige landen blijft dan over: 1-0,98135=0,0186. Deze proportie wordt verdeeld over 10 landen, dus per land is dit 0,00186 (overeenkomend met 0,186%)

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 1 november 2016