WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Deelruimten

Dag iedereen

Ik zit vast met oefeningen over deelvectorruimten.

De vraag luidt als volgt: "Vormen de volgende deelverzamelingen van R[x] deelvectorruimten van (R,R[x],+)?"

1. V = {AnX^n + An-1X^n-1 + ... + A1X^1 + A0 € R[x] : An= A0 + A1 }
2. V = {AnX^n + An-1X^n-1 + ... + A1X^1 + A0 € R[x] : An= A1 + 2}
3. V = {AnX^n + An-1X^n-1 + ... + A1X^1 + A0 € R[x] : An= A0 = 0 }
4. V= R[x]\R1[x]

Eerst en vooral snap ik niet hoe ik (R,R[x],+) moet begrijpen? Maw de betekenis ervan.
Ik snap ook niet hoe ik moet beginnen aan die 4 oefeningen.

Wat ik weet is het criterium : Als W een deelverzameling is van V dan is W een deelvectorruimten als en slechts als : V a,b € R , V x,y € W

ax + by € W

Het zou fijn zijn moest ik hulp krijgen.

PS: A0 en An : de 0 en n enzo zijn indexen_..._..._...
Joy
Student universiteit België - woensdag 12 oktober 2016

Antwoord

Wat $(\mathbb{R},\mathbb{R}\lbrack X\rbrack,{+})$ betreft: dat zou je in je boek moeten kunnen vinden, bij de definitie van vectorruimte. Vermoedelijk is dit de notatie van het boek voor "de vectorruimte van alle reële polynomen van graad ten hoogste $n$"
Alle vier keren moet je inderdaad nagaan of $V$ niet leeg is (dat had je er niet bij maar het moet wel) en of voor elke $a,b\in\mathbb{R}$ en $v,w\in W$ geldt $av+bw\in V$. Uit de twee voorwaarden volgt ook dat de nulvector in $V$ moet zitten; hier is dat het nulpolynoom (met $a_i=0$ voor alle $i$). Dat laatste kun je goed gebruiken om te zien dat iets niet een deelruimte is. Bijvoorbeeld bij 2: het nulpolynoom zit niet in die $V$ want $a_n=0$ en $a_1=0$ en dus $a_n\neq a_1+2$.
Bij 1 en 3 heb je wel deelruimten: de $V$s zijn niet leeg want het nulpolynoom zit er in. En verder: als $v=a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0$ en $w=b_nX^n+\cdots+b_1X+b_0$ aan de eis van 1 respectievelijk 3, dan voldoet $v+w=(a_n+b_n)X^n+\cdots(a_1+b_1)X+(a_0+b_0)$ aan de eis van 1 respectievelijk 3.
Voor 4 zie ik niet wat de bedoeling is, wat is $\mathbb{R}_1\lbrack X\rbrack$?.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 15 oktober 2016

Re: Deelruimten