WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bepaling vergelijking vlak

Als ik punten in één vlak heb (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3) enz. hoeveel punten heb ik dan nodig om voor de vergelijking van een vlak: ax + by + cz = d de onbekende a, b, c en d uit te rekenen?
Hoe zien de onbekende a, b, c en d er uitgedrukt in x1, y1, z1 ,x2, y2, z2, x3, y3, z3 enz. uit?
Ad Jan
Ouder - donderdag 27 februari 2003

Antwoord

Hoi,

Je hebt 3 punten nodig:
Stel dat je het punt a(x1;y1;z1), b(x2;y2;z2) en
c(x3;y3;z3) hebt. Dan kun je op dat vlak de lijnstukken ab en ac tekenen. deze lijnstukken hebben allebei een bepaalde vector respectievelijk vector(ba) en vector(ca)
Deze vectoren kan men uitdrukken in co-ordinaten zodat we krijgen: co(a)-co(b) en co(a)-co(c) We hebben nu 2 richtingsgetallen voor het vlak bepaald nl: k en l

Je moet weten dat:
x = x1 + ka1 +la2
y = y1 + kb1 + kb2
z = z1 + kc1 + kc2

Via de determinant van een matrix kan je nu de vgl bepalen:

Rij 1: x-x1 y-y1 z-z1
Rij 2: xa-xb ya-yb za-zb
Rij 3: xa-xc ya-yc za-zc

Met xa-xb bv bedoel ik de x-coordinaten van a min die van b
Door deze determinant uit te werken bekom je de vgl...
Dit lijkt allemaal ingewikkelder dan het in feite is, een voorbeeld zal je alles duidelijker maken...
Stel dat we een vlak hebben door a(-2;0;3) door b(-2;-2;-1)en door c(-5;1;2)
co(a)- co(b) geeft: (0;2;4)
co(a) - co(c) geeft: (3;-1;1)
Nu stellen we onze determinant op die we aan nul gelijkstellen:
x+2 ; y ; z-3
0 ; 2 ; 4
3 ; -1 ; 1
Als we deze determinant helemaal oplossen krijgen we:
x + 2y - z + 5 = 0
Dus: a=1 b=2 c=-1 en d=-5
Ik hoop dat het duidelijk genoeg voor je was, zoniet reageer dan gerust opnieuw.

Koen

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 27 februari 2003

Re: Bepaling vergelijking vlak