WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Aantal personen in gelijk aantal verdelen over twee bussen

Vraag uit de Vlaamse wiskunde olympiade 2014-2015 Finale.
Er is gegeven dat de kans dat A en B in dezelfde bus komen 1/2 is. Beide bussen zijn vol.

Ik ga uit van 2n personen, dus in elke bus n personen. n uit 2n geeft volgens mij (2n!) gedeeld door (n!).(n!) mogelijkheden. Als in een bus A en B zitten, moeten er nog (n-2) uit (2n -n) bij. Dit is volgens mij (2n-2)! gedeeld door n!(n-2 )!, waardoor de kans op A en B in dezelfde bus wordt (n-1) gedeeld door 2(2n-1) en als dit 0 is dan wordt n ook 0.

Volgens de opgave moet n een kwadraat zijn. Hoe zit dit?
W.Vene
Ouder - dinsdag 29 september 2015

Antwoord

Voor de nieuwsgierige lezertjes: dit is vraag 3a van finale 2015.

Je mag er om te beginnen niet vanuit gaan dat beide bussen even groot zijn. Laten we het volgende aannemen: bus A heeft a zitplaatsen en bus B b. Bovendien nemen we aan: het aantal leden van de turnclub is n, dus a+b=n.

Dat de kans dat Leon en Lander in dezelfde bus zitten gelijk is aan ¹/₂ betekent dat de kans dat ze in een verschillende bus zitten ook gelijk is aan ¹/₂.

De kans dat ze in verschillende bussen zitten is 2·a/n×b/(n-1)=2a(n-a)/(n×(n-1)). Deze kans is een half, dat betekent dat 4·a·(n-a)=n·(n-1)

Haakjes wegwerken en alles naar een kant brengen levert:

4a²-4na+n²-n=0, oftewel:
(2a-n)²=n

Dus n is een kwadraat.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 2 oktober 2015