WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Inversie en meetkundige plaats

Opgave: Gegeven zijn 2 vaste cirkels O en O' (bijv. niet snijdend). Een variabele rechte s rakend aan de cirkel O in A, snijdt de cirkel O' in B en C. Aan welke kromme (= meetkundige plaats) raken de cirkels O'BC?

Mijn bevindingen:
(1) Vooreerst is het grafisch direct duidelijk dat niet elke raaklijn aan de cirkel O, de cirkel O' zal snijden. Op de cirkel O zijn er slechts twee bogen die een raaklijn oplevert, die effectief cirkel O' effectief snijdt.

(2) Kies je nu de cirkel O' als inversiecirkel van de inversie (O', r'²) dan stel je vast dat alle cirkels O'BC door het centrum van inversie gaan en dus door die inversie omgezet worden in rechten. Die rechten komen nu precies overeen met gunstige raaklijnen aan de cirkel O.

VRAAG: Hoe kan ik dan binnen de vlakke meetkunde, de omhullende vinden van al die rechten (= inverse beelden!)?
Indien ik die kan vinden, zou ik dan met dezelfde inversie, terugkeren, naar de oorspronkelijke kromme (vermoedelijk een cirkel), die raakt aan al die cirkels O'BC.

Opmerking: Ik hou er natuurlijk rekening mee, dat ik fout zit in mijn bevindingen; ik hoop in beide gevallen een tip te krijgen, om het verder persoonlijk af te werken. Bedankt bij voorbaat, ook al besef ik heel goed dat niet elke vraag in aanmerking komt.
Yves D
Docent - maandag 10 augustus 2015

Antwoord

Beste Yves,

Zoals ik het zie, heb je eigenlijk het belangrijkste al gezien:

Inversie (O', r'²) beeldt cirkel O'BC af op raaklijn s aan cirkel O, vice versa.

Nu raakt s dus aan cirkel O. Laat cirkel O₁ het beeld zijn van cirkel O onder genoemde inversie. Aangezien raaklijn s aan O wordt afgebeeld op cirkel O'BC, zal O'BC raken aan het beeld O₁ van cirkel O.

De cirkels O'BC raken dus alle aan O₁. Overigens, je merkt al terecht op dat niet noodzakelijkerwijs alle raaklijnen s cirkel O ook feitelijk snijden, zodat in het algemeen niet de gehele cirkel O₁ nodig zal zijn om de cirkels O'BC te "omhullen". Gelukkig is de vraag subtiel gesteld.

Met vriendelijke groet,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 15 augustus 2015