WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Inverteerbaar

Beste

Voor welke waarden van p is matrix A inverteerbaar?

A =
1 0 4
-2 p 2
4 0 p^2

en bepaal de inverse m.b.v. de adjunctmatrix.

A.
3de graad ASO - maandag 9 juni 2014

Antwoord

Beste,

$
\begin{array}{l}
A = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 4 \\
{ - 2} & p & 2 \\
4 & 0 & {p^2 } \\
\end{array}} \right] \\
\det (A) = p(p^2 - 16) \\
\det (A) = 0 \Rightarrow p = 0\;p = 4\;p = - 4 \\
\end{array}
$
Deze waarde mag P dus NIET aannemen en alle andere wel.

$
\begin{array}{l}
A^{ - 1} = \frac{1}{{\det (A)}}adj(A) \\
adj(A) = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{p^3 } & {2p^2 + 8} & { - 4p} \\
0 & {p^2 - 16} & 0 \\
{ - 4p} & { - 10} & p \\
\end{array}} \right]^T = \\
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{p^3 } & 0 & { - 4p} \\
{2p^2 + 8} & {p^2 - 16} & { - 10} \\
{ - 4p} & 0 & p \\
\end{array}} \right] \Rightarrow A^{ - 1} = \frac{1}{{p(p^2 - 16)}}\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{p^3 } & 0 & { - 4p} \\
{2p^2 + 8} & {p^2 - 16} & { - 10} \\
{ - 4p} & 0 & p \\
\end{array}} \right] \\
\end{array}
$

Maar de moeilijkheid is misschien het vinden van deze adj(A).
Welnu die vinden we als volgt:
$
\begin{array}{l}
A = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{\left( 1 \right)} & 0 & {} \\
{} & p & 2 \\
{} & 0 & {p^2 } \\
\end{array}} \right] \to cof(1) = p^3 - 2.0 = p^3 \\
A = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{} & {\left( 0 \right)} & {} \\
{ - 2} & {} & 2 \\
4 & {} & {p^2 } \\
\end{array}} \right] \to cof(0) = - ( - 2p^2 - 8) = 2p^2 + 8 \\
\end{array}
$

Kortom we nemen een getal uit Matrix A en vervangen die door zijn cofactor.
( let hierbij op de minnetjes en plusjes) Zo vormen we een nieuwe matrix.
Welnu de transpose van deze nieuwe matrix is dan adj(A)

mvg DvL

DvL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 9 juni 2014