WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Supremum en Infimum

Dit is een reactie op vraag 68494

Dus als ik het goed begrijp:

1) Ik moet een verzameling niet bekijken als een interval. Als een bepaald getal a tussen 2 cijfers ligt, is deze onder- en boven begrend. (vb. 0a1) Hetzelfde voor als dit getal niet tussen 2 cijfers ligt. (a1 - bovengrens en 1a - ondergrens)

2) Een getal kan enkel een minimum/maximum zijn als het tot die verzameling behoort.

3) Als er een bovengrens (resp. ondergrens) is, is er ALTIJD een supremum (resp. infimum).
Anon
Student universiteit België - dinsdag 2 oktober 2012

Antwoord

Beste Anon (?!),

1) Een interval is een verzameling (van reële getallen), maar niet elke verzameling kan je schrijven als een interval. Het interval [a,b] bestaat uit alle reële getallen x die voldoen aan $a \le x \le b$; analoog voor een (half)open interval. Een verzameling rationale getallen kan je zo dus niet schrijven en ook bv. de verzameling
$$\left]-1,1\right] \cup \left\{7,2\pi\right\} \cup \left[ 8,23 \right]$$kan je niet als één interval schrijven. Nochtans is die verzameling wel naar boven (bv. 100) en naar onder (bv. -50) begrensd. De kleinste bovengrens (= supremum) is 23 en de grootste ondergrens (= infimum) is -1. Aangezien 23 ook tot de verzameling behoort is dat eveneens het maximum, maar er is geen minimum.

2) Klopt, want een min resp. max van een verzameling is (per definitie) een element van die verzameling.

3) Ja, voor niet-lege verzamelingen van reële getallen. Let op: niet voor bijvoorbeeld verzamelingen van rationale getallen: binnen Q heb je niet noodzakelijk suprema/infima.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 2 oktober 2012

Re: Re: Supremum en Infimum