WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Faculteit en permutaties

Een pianist bereidt een recital voor dat zal bestaan uit 3 klassieke, 4 romantische en 2 hedendaagse stukken. Op hoeveel manieren kan hij deze pianostukken rangschikken als hij:
de romantische stukken direct achter elkaar wil spelen
de romantische stukken om en om wil spelen.
de stukken van elk genre direct achter elkaar wil spelen.

yalda
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 9 februari 2012

Antwoord

Leuk vraagstuk. Je kunt de vragen aanpakken met de 'blokjesmethode'. Dat bestaat (nog) niet echt, maar vanaf vandaag dan wel...h4>a.Je moet 9 vakjes vullen met in ieder geval een aangesloten blokje van 4 romatische stukken. Er zijn 6 van die blokjes te maken. Elk blokje kan op 4! manieren. Dus 6·4!

RRRR_____
_RRRR____
__RRRR___
___RRRR__
____RRRR_
_____RRRR

Voor de 5 andere vakjes kan je kiezen uit 5 andere stukken. Dat kan op 5! manieren.

In totaal zijn er dus 6·4!·5! permutaties.
b.
Ik ga er even van uit dat 'om en om' spelen betekent dat hij begint met een ander stuk, dan een romatisch stuk, dan weer... Zoiets kan op 1 manier.

_R_R_R_R_

Er zijn daar in dan 4! manieren om R te kiezen en 5! voor de andere stukken.

In totaal zijn er 4!·5! permutaties.
c.
Er zijn nu 3 blokjes van aaneengesloten stukken:
RRRR, KKK en HH.

RRRRKKKHH
RRRRHHKKK
KKKRRRRHH
KKKHHRRRR
HHRRRRKKK
HHKKKRRRR

Er zijn 6 mogelijk volgordes van 3 blokjes. Elk blokje kan dan op 4!, 3! resp. 2! verschillende manieren.

Er zijn 6·4!·3!·2! permutaties.

Ik hoop dat het zo allemaal klopt. Anders horen we 't wel. De 'blokjesmethode' dus... hopelijk heb je er iets aan.

ps
Je kunt bij a. natuurlijk ook de '4-in-een-zak-methode' gebruiken. Stop de 4 R-en in een zak. Er zijn dan 6 verschillende elementen. Dat kan op 6! manieren. De R-en kunnen onderling nog op 4! manieren dus 4!·6! manieren. Kan ook:-)

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 10 februari 2012