WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Topologisch bewijs ivm open omgeving

Men vraagt te bewijzen dat elke open omgeving S, gedefinieerd als de omgeving met straal Epsilon en rond het punt x₀, altijd een open verzameling is.

Mijn kijk op het bewijs:

Er zijn twee voorwaarden opdat een verzameling als open beschouwd mag worden:

1) Inwendige van A = de verzameling A zelf = Inw A = A
2) A is een deelverzameling van zijn inwendige = A c Inw A

Mijn vraag naar jullie toe is nu hoe ik op de juiste manier dit toepas/bewijs voor een open omgeving, in pure symboliek. Het komt er aldus op neer dat het volgende topologisch moet bewezen worden:

1) Inw S = S
2) S c Inw S

Hoewel het logisch klinkt als je het hoort baserend op de definitie, vind ik het niet zo gemakkelijk dit om te zetten naar concrete bewijsvoering.

Ik dank jullie bij voorbaat.
Kristo
Student universiteit België - zondag 3 oktober 2010

Antwoord

Voorwaarden 1 en 2 zijn equivalent omdat Inw A altijd een deelverzameling van A is; verder helpt het de definitie van Inw A erbij te betrekken.
Om te bewijzen dat A=B(x₀,epsilon) een deelverzameling van zijn inwendige is moet je voor elke x in A een delta vinden zó dat B(x,delta) een deelverzameling van A is. In dit geval is delta=epsilon-d(x,x₀) een goede keuze.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 9 oktober 2010