WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Gulden Snede Spiraal

Hallo allemaal!
Wij hebben voor wiskunde de opdracht gekregen om de fromule van de gulden snede spiraal te zoeken, die hebben we gevonden:
r(q)=r0 * fÙ(q/90)
nu we deze hebben, (volgens ons klopt het?)
zijn we op zoek naar het antwoord op de volgende vragen:
- Raakt of snijdt deze Spiraal de rand van de Gulden Rechthoek?
- Welke hoek maken de raaklijnen aan de Gulden Snede Spiraal met de voerstralen?
- Zit in deze hoek ook een gulden snede getal verstopt?
We hebben op een site gevonden dat de spiraal de rand van de gulden rechthoek snijdt, maar, het lukt ons niet om dit, met behulp van die site, te bewijzen. We vermoeden dat we het met behulp van raaklijnen en de afgeleide kunnen bepalen. Maar hoe werkt dit precies?
We denken er over na, om te kijken waar de raaklijn aan de spiraal nul is (hoogste punt). Als dit punt precies een punt van een vierkant is in de gulden rechthoek, dan raakt hij 'm. We gaan er van uit dat de spiraal sowieso niet onder de gulden rechthoek uitkomt.
Onze concrete vraag is dus:
Hoe kunnen we de raaklijn bepalen en in welk punt (hoe definieer je dit punt) is dat dan?
Hoe bepaal je de hoek die de voerstraal met die raaklijn maakt.
bvd
groetjes,
Loes en Gréanne
Loes
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 18 december 2008

Antwoord

Hallo

Als je dit soort functies wil bestuderen met afgeleiden, zet je de hoekeenheid best om in radialen.

De functie wordt dus (r0 stel ik gelijk aan 1): r(q) = f^{^2q/_p}

Als b de hoek is tussen de raaklijn en de voerstraal, geldt :

tan(b) = ^r(q)/_r'(q)

met r'(q) de afgeleide van r(q)

Vermits r'(q) = f^{^2q/_p}.²/_p.ln(f) geldt dat

tan(b) = ^p/_(2.ln(f))

tan(b) is dus constant en gelijk aan 3.2644 en b = 1.2735 rad

Als je in een punt de raaklijn wil construeren, teken je door dit punt een rechte die met de voerstraal een hoek maakt van b radialen.

Met de nodige omzettingen naar cartesische coördinaten kun je ook de cartesische vergelijking van deze raaklijn opstellen.
Als a de hoek is tussen de raaklijn en de x-as, is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan tan(a) = tan(b+q)

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 18 december 2008

Re: Gulden Snede Spiraal