WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Lineare afbeelding

Goede dag,
Ik zit vast met de volgende vraag. Vandaar wil ik graag een uitgebreid antwoord op mijn vraag.

Opgave: Laat V een vectorruimte zijn en A:V®V een lineare afbeelding zodat A³=I. I is de identiteit I(v)=v voor elke v uit V (opmerking: v is vector).

a) Geef voor het geval V=R³ een voorbeeld van zo'n lineare afbeelding A (met A¹I)

b) Toon voor het algemeen geval aan dat
Im (A²+A+I)=ker(A-I)

Met vriendelijke groet

Anna
Anna
Student hbo - zondag 30 maart 2008

Antwoord

Dag Anna,

Je afbeelding A voldoet aan A³=I. Dat betekent dat als je een willekeurige vector v neemt, en je past er A op toe, en op het resultaat pas je nog eens A toe, en daarop nog eens, dat je opnieuw bij v uitkomt. Bovendien moet A een lineaire afbeelding zijn.

Je weet allicht dat in R³ de lineaire afbeeldingen allemaal van dezelfde vorm zijn: de inwerking van A op een punt met coördinaten (x,y,z), beeldt dit punt af op een nieuw punt (x',y',z') dat je kan berekenen met behulp van een matrixproduct. Elke lineaire afbeelding heeft immers een 3*3 matrix (noem hem hier bijvoorbeeld B) zodat
A((x y z)^T) = (x' y' z')^T = B * (x y z)^T.

(Met die T bedoel ik transponeren, dus er staan eigenlijk kolomvectoren)

Dus het feit dat A³ de identiteit moet zijn, uit zich in het feit dat
A(A(A((x y z)^T))) = B³ (x y z)^T = (x y z)
dus je zoekt een matrix B waarvoor B³=I (de eenheidsmatrix) en B¹I.

Dat is niet zo eenvoudig om zomaar op het zicht zo een matrix op te stellen, dus laten we het eens meetkundig bekijken: voorbeelden van lineaire afbeeldingen in de ruimte zijn rotaties, spiegelingen, homothetieën,... Het makkelijkste is allicht de rotatie: over welke hoek a moet je roteren zodat het driemaal toepassen van deze rotatie de identiteit geeft (tip: identiteit is hetzelfde als roteren over 360°...)

b) kan je makkelijkst doen door een vector te nemen die in de ene verzameling zit, en dan aan te tonen dat hij ook in de tweede verzameling zit, en omgekeerd. Laat ik al eens de eerste richting doen: stel dat v in Im(A²+A+I) zit. Dat betekent dat v het beeld is onder A²+A+I van een vector w, of nog, dat er een w bestaat zodat (A²+A+I)(w)=v
dus A²(w)+A(w)+w=v
Te bewijzen: zit v in Ker(A-I)?
Wel, pas dan (A-I) toe op de vector v, gebruik makend van de schrijfwijze voor v die we net zijn uitgekomen:
(A-I)(v)=(A-I)(A²(w)+A(w)+w)
= A³(w)+A²(w)+A(w)-A²(w)-A(w)-w
= A³(w)-w
= w-w
= 0
want A³ was de identiteit I, dus A³(w)=I(w)=w.
Besluit: v zit inderdaad in Ker(A-I) want (A-I)(v)=0.

Probeer nu ook de andere richting eens... Die lijkt op het eerste zicht wel ietsje moeilijker... Hint hierbij: bepaal (A²+A+1)(v/3) als v in ker(A-I) zit. Dat laatste is een toevoeging van een aandachtige lezer :-)

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 3 april 2008