|
|
|
\require{AMSmath}
Re: Re: Snijpunt bepalen van 2 assen in een bol
Oscar,
Ik heb even een klein voorbeeldje gemaakt met wat ik bedoel.
De aansluitingen zitten in het voorbeeld 45° t.o.v. elkaar gedraaid en vallen in elkaar. Dit komt omdat de omtrek kleiner is op dat punt. Zouden de aansluitingen in de schacht zitten, dan is de omtrek groter omdat de radius van de put groter is. De aansluitingen vallen dan niet in elkaar.
De aansluitingen lopen niet helemaal door tot het midden van de bol, maar worden op de buitenkant van de bol geplaatst zoals getekend.
Groet,
Bjorn.
Bjorn
Student hbo - vrijdag 4 januari 2008
Antwoord
Beste Bjorn,
Ik geloof dat ik snap waar je heen wilt. De cilinders lopen horizontaal op een zekere afstand (u) onder het midden van de bol. Hun assen snijden elkaar in de verticale as van de bol. De hoek tussen de cilinderassen moet zo klein mogelijk zijn maar ze mogen elkaar (buiten de bol) niet snijden. Hiermee is de hoek tussen de assen inderdaad vastgelegd.
Dit probleem is wel oplosbaar. Maar het is wel een kluwen formules. Ik neem even aan dat de straal van de bol 1 is en van de cilinder r (t.o.v. de bol dus). Ik leg de bol op de oorsprong en de cilinder(as) recht onder de y-as op een afstand u. Nu ga ik op zoek naar de doorsnede van de cilinder en de bol:
(1, bol): x2+y2+z2=1
(2, cylinder): x2+(z+u)2=r2
(1)-(2): y2-2zu-u2=1-r2
vergelijking voor y: y = √(1-r2+u2+2zu)
vergelijking voor x: x = √(1-y2-z2) = √(1-(1-r2+u2+2zu)-z2) = √(r2-u2-2zu-z2)
Ik heb nu x en y als functie van (de hoogte) z. Nu trek ik een horizontale lijn van ieder punt naar de z-as en zoek de hoek die die lijn maakt met het yz-vlak:
tan($\alpha$) = x/y = √((r2-u2-2zu-z2)/(1-r2+u2+2zu))
Voor u = 0 krijg je tan($\alpha$)= √((r2-z2)/(1-r2)) dat is maximaal voor z = 0, nl: tan($\alpha$)= √(r2/(1-r2)). M.a.w. de cilinders raken elkaar op het breedste punt.
Maar, voor u$>$0 is het inderdaad minder eenvoudig. Om het maximum te vinden differentieer je tan2($\alpha$) naar z en stel je het resultaat nul.
0 = ((r2-u2-2zu-z2)'(1-r2+u2+2zu)-(r2-u2-2zu-z2)(1-r2+u2+2zu)')/(1-r2+u2+2zu)2 = 2((u-z)(1-r2+u2+2zu)-(r2-u2-2zu-z2)(u))/(1-r2+u2+2zu)2
= 2(-uz2+(-u2-1+r2)z+u(1-2r2+2u2))/(1-r2+u2+2zu)2
De teller moet nul zijn. Dat geeft een vierkantsvergelijking voor z die je gewoon op kunt lossen met de abc-formule. Met de gevonden waarde van z bereken je de hoek. De hoek tussen de cilinders is twee keer zo groot. Ik zie niet dat er iets moois uitkomt. Als dat wel zo is hoor ik het graag.
Je moet de formule overigens wel goed nakijken en/of controleren in de praktijk. Er kan best een typefout in zitten.
Groet. Oscar
os
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 4 januari 2008
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|
Dit is een reactie op vraag 53693