WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Ik zie ik zie...

ik moet het hoofdstuk integreren herkansen, en op de toets kregen we de vorige de vraag:
Bepaal de integraal van:
a. cos(x)*sin(x) (- van 0 t/m pi)
b. x*(1+x²) (- van 1 t/m 2)

Als ik de functie heb geprimitiveerd kan ik wel uitrekenen wat de integraal moet zijn, maar dat primitiveren lukt me bij deze functies nog niet. Welke formule (van de formulekaart) moet ik bij a) nou gebruiken om de cosinus om te zetten naar een normale sinus zodat ik op het antwoord (.5sin²(x)) kan komen?

Victor

Victor
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 12 november 2002

Antwoord

Waarschijnlijk kan je deze opgaven pas goed doen als je ruime ervaring hebt met het differentiëren! Ik zal dat uitleggen:

a.
Als ik a. zie staan dan denk ik aan (sin(x))². Dit schrijf je ook wel als sin²(x).
Het idee is niet zo gek, want [(sin(x))²]'=2·sin(x)·cos(x).
Nu klopt het nog niet helemaal... die 2 moet nog weg... maar als ik ¹/₂·sin²(x) neem, zit ik aardig goed, toch?

b.
Zelfde verhaal! Ik zie een wortel en 1+x². De afgeleide van 1+x² is 2x... dus dat komt vanzelf goed als ik iets met Ö(1+x²) doe...

Ö(1+x²)=(1+x²)^¹/₂
Dus als ik nou eens (1+x²)^1¹/₂ als primitieve neem... dan krijg ik als afgeleide 1¹/₂·(1+x²)^¹/₂·2x=3x·(1+x²)^¹/₂

Nou niet gek... alleen weer de factor net niet goed... maar dat kan ik wel weer goed krijgen!
Mijn primitieve wordt: ¹/₃·(1+x²)^1¹/₂

Kortom: let op het voorkomen van g'(x)·f'(g(x)) als je begrijpt wat ik bedoel... of te wel... is de functie die je moet integreren niet 'toevallig' een afgeleide die met de kettingregel tot stand gekomen is...!?

Zie 2. Substitutiemethode

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 12 november 2002