WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Lineaire onafhankelijkheid

Hoi,

Ik heb de volgende opdracht gekregen:
Ga na of volgende vectoren lineair onafhankelijk zijn. Bepaal de dimensie en de deelruimte erdoor voortgebracht

[2,3,4,-3], [6,1,-5,9], [-4, -24, -13, -6],
[0, -18, -5, -12] en [2, 5, 8/5, 3]

Bij het oplossen van een 4 X 4 stelsel kan ik weldegelijk besluiten dat een de vectoren lineair afhankelijk is van de andere.

Ook heb ik per 4 vectoren getracht om een lineair onafhankelijk stel te vinden, maar dit tevergeefs

In beide gevallen zijn er constanten in het spel dus kan ik volgens mij nooit lineaire onafhankelijkheid bekomen

De vraag is nu: Wat vang ik aan met de deelvraag
Volgens mij kan ik niets anders doen daar lineaire onafhankelijkheid een vereist is voor een basis te definieren en dat de dimensie afhankelijk is van de basis.

Klopt deze bedenking?

Kan je niet besluiten dat (want we hebben 5 vectoren in 4 onbekenden gekregen) dat ze zowiso lineair afhankelijk zijn omdat we "een vector te veel hebben"?

Dus in a nuttshell: Is de opgave beantwoord door gewoon de stelsel te geven en een reeks scalairen opdat lineaire afhankelijkheid aangetoont wordt, en valt hierdoor de deelvraag weg.

Vele dank

jeffre
Student universiteit België - maandag 26 maart 2007

Antwoord

Hoi Jeffrey,

Nee. Je constateert terecht dat de vijf vectoren sowieso afhankelijk zijn. Dus het gaat om de deelvraag.
Als je per vier vectoren geen onafhankelijk stelsel kan vinden is de dimensie waarschijnlijk lager dan vier.
Er zijn kortere oplossingen, maar in z'n algemeen gaat de aanpak als volgt:
Je hebt de vergelijking ax₁+bx₂+cx₃+dx₄+ex₅=0 opgelost en meerdere oplossingen gevonden. Neem nu één vector waarvan de coefficient geen nul is. Dan kun je makkelijk laten zien dat die vector een combinatie van de anderen is. De overige vier spannen dus dezelde ruimte op. Dus kun je gaan onderzoeken of die vier misschien onafhankelijk zijn. Zo niet, dan kun weer een vector weglaten. Etc.
Zoals gezegd. Het kan korter. Als je meerdere oplossingen hebt en meteen kunt laten zien dat twee vectoren een combinatie zijn van de overige drie. Dan kun je ze meteen allebei weglaten. En, als je het oplossen van de 5x4 vergelijking goed aanpak kun je aan het aantal wegvallende vergelijkingen meteen zien welke dimensie er uiteindelijk over zal blijven. Maar, dat hang af van de manier waarop je de vergelijking oplost.

Groet. Oscar

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 26 maart 2007

Re: Lineaire onafhankelijkheid