WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Derdegraadsfuncties

Dit is een reactie op vraag 45632

ik heb het ook gemaakt, alleen weet niet zkr of het goed is. de ene keer klopt het wel en de andere keer weer niet. zou je dan kunnen controleren of mijn antwoorden goed zijn?
dit zijn mijn berekeningen en antwoorden: voor de vragen zie http://www.novaplein.nl/vavo/wiskunde/derdegraad.pdf

:
Vervolg

De eigenschap is:
Bij een algemene derdegraadsfunctie f(x)=a(x-b)(x-c)(x-d), dus met drie nulpunten, geldt dat de raaklijn van de punt die op de grafiek gecorrespondeerd is met de midden tussen de twee nulpunten, door het derde nulpunt gaat. Mits a geen 0 is, mits b, c, d niet hetzelfde zijn en b‹c›d. a,b,c,d kunnen alle getallen zijn.
De eigenschap kan niet opgaan voor f(x)=x³ en f(x)= x³+1, omdat ze niet 3 nulpunten hebben. Het geld voor elk tweetal nulpunten.

Nog meer derdegraadsfuncties

Geld het ook als je negatieve en positieve nulpunten door elkaar hebt?
Ik neem de functie k(x)=(x-5)(x+3)(x+6)
Deze grafiek heeft de nulpunten x=5, x=-3 en x=-6. Ik neem de nulpunten x=5 en x=-3. daartussen ligt het punt x=1 dat op de grafiek correspondeert met het punt (1,-112). De helling van dat punt is:
k(x+0,001)-k(x) = k(1,001)-k(1) = -112,016--112 = -16 g (x+0,001)-x 0,001 0,001
Je hebt nu y=-16x+b. b bereken je door de coördinaat van het punt (1,-112) in de formule te vullen: -112=-16*1+b. B is dus: -112—16=-96. De vergelijking van de raaklijn is dus y=-16x-96. Deze gaat door het derde nulpunt van de grafiek.

Andere functies

Geld de eigenschap ook bij sin x of bij cos x?
Ik neem de functie l(x)=sin x. Deze grafiek heeft veel nulpunten, maar ik neem er even 3: x=-π, x=0 en x=2π. Midden tussen de twee nulpunten x=0 en x=2π ligt x=π, en dat correspondeert op de grafiek met het punt (π;0). De raaklijn aan het punt (π;0) is y=ax+b. De helling in het punt (π;0) is:
l(x+0,001)-l(x) = l(π+0,001)-l(π) = -0,001-0= -1 g (x+0,001)-x 0,001 0,001
J hebt nu dus y=-x+b. b bereken je door de coordinaat van het putn in de formule te vullen: 0=-1*π+b. B is dus: 0--π=π≈3,14. de vergelijking van de raaklijn is dus y=-x+π. Als je deze op grafiek tekent zie je dat hij niet door het derde nulpunt gaat. Dus de eigenschapgeld niet bij sin x en dan waarschijnlijk ook niet bij cos x, ondanks dat ze een ‘op en neer’ gaande vorm hebben.

Geldt de eigenschap ook bij g(x)=√((x-1)(x-3)(x-5)) ?
De grafiek heeft de nulpunten x=1, x=3 en x=5. ik neem de nulpunten x=1 en x=3. Midden tussen deze nulpunten ligt het punt x=2, dat op de grafiek correspondeert met het punt (2;1,73). De vergelijking aan de raaklijn is y=ax+b. A, de helling, is:
g(x+0,001)-g(x) = g(2+0,001)-g(2) = 1,7317612-1,73205080= -0,29 g (x+0,001)-x 0,001 0,001
Je hebt nu y=-0,29x+b. B kun je berekenen door de coördinaat in de formule in te vullen: 1,73=-0,29*2+b. B is dus: 1,73-(-0,29*2)=2,31. de vergelijking van de raaklijn is dus y=-0,29x+2,31. als je deze op de grafiek tekent zie je dat hij niet door het derde nulpunt gaat. De eigenschap geldt hier dus ook niet, ondanks dat hij drie nulpunten heeft.
Geldt de eigenschap ook bij vierdegraadsfuncties?
Ik neem de vierdegraadsfunctie m(x)=(x-1)(x-3)(x-5)(x-7). De grafiek snijdt de x-as in x=1, x=3, x=5 en x=7. Ik neem de nulpunten x=1 en x=3. Daartussen ligt x=2 dat op de grafiek correspondeert met het punt (2;-15).
De vergelijking aan de raaklijn in dat punt bereken je met de formule y=ax+b. A bereken je met de formule:
m(x+0,001)-m(x) = m(2+0,001)-m(2) = -14,99199--15= 8,01≈8 g (x+0,001)-x 0,001 0,001
Dus y=8x+b. B bereken je door de coördinaat in de formule in te vullen: -15=(8*2)+b. B is dus: -15-16=-31. De vergelijking van de raaklijn in het punt (2,-15) is dus y=8x-31. Als je deze op de grafiek tekent zie je dat hij door geen een nulpunt gaat, dus ook niet door het derde. De eigenschap geld dus hier ook niet.

Geldt de eigenschap ook bij vijfdegraadsfuncties?
Ik neem de vijfdegraadsfunctie p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). De grafiek snijdt de x-as in x=1, x=2x=3, x=4 en x=5. Ik neem de nulpunten x=2 en x=3. Daartussen ligt x=2,5 dat op de grafiek correspondeert met het punt (2,5;-1,41).
De raaklijn aan dat punt bereken je met de formule y=ax+b. A bereken je met de formule:
p(x+0,001)-p(x) = p(2,5+0,001)-p(2,5) = -1,405681--1,40625=0,569≈0,57 g (x+0,001)-x 0,001 0,001
Dus y=0,57x+b. B bereken je door de coördinaat in de formule in te vullen: -1,41=(0,57*2,5)+b. B is dus: -1,41-(0,57*2,5)=-2,835 ≈-2,8. De vergelijking van de raaklijn in het punt (2,5;-1,41) is dus y=0,57x-2,8. Als je deze op de grafiek tekent zie je dat hij door de vierde nulpunt gaat (als je begint met de nulpunt x=-2). De eigenschap geld hier wel.

Geldt de eigenschap ook bij
Ik neem de functie r(x)=3x-x³, want hij heeft ook 3 nulpunten (uit de pw ). De grafiek heeft de nulpunten x=-1,72, x=0 en x=1,72. Ik neem de nulpunten x=0 en x=1,7. midden tussen deze ligt x=0,86 dat op de grafiek correspondeert met het punt (0,86;1,94). De vergelijking van de raaklijn in dat punt kun je berekenen met de formule: y=ax+b. A kun je berekenen met de formule:
r(x+0,001)-r(x) = r(0,86+0,001)-r(0,86) = 1,9447226-1,943944=0,7786≈0,78 g(x+0,001)-x 0,001 0,001
Je hebt nu y=0,78x+b. B bereken je door de coördinaat in de formule in te vullen: 1,94=(0,78*0,86)+b. B is dus: 1,94-(0,78*0,86)=1,2692≈1,27. De vergelijking van de raaklijn in het punt (0,86;1,94) is dus y=0,78x+1,27. Als je deze op de grafiek tekent zie je dat hij door het derde nulpunt gaat. De eigenschap geld dus ook bij deze functie met 3 nulpunten.

als antw onduidelijk is kan ik het ook als bijlage sturen maar hoe moet dat dan?

tuba
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 30 mei 2006

Antwoord

Ten eerste:
de verkennende opdrachten 1,2 en 3 moeten algebraisch. Dus het lijkt me dat je de vergelijking van de raaklijn netjes met behulp van differentieren moet opstellen. Daarna moet je het snijpunt van deze raaklijn met de x-as netjes uitrekenen. Dus geen geplot. Naar mijn smaak staat er teveel rekenmachinegedoe in jouw uitwerking.
Ten tweede:
Ik mis een exacte formulering van "de eigenschap".
Ten derde:
Voordat je met andere functies dan derdegraadsfuncties wat gaat doen zou ik het bewijs van "de eigenschap" voor de derdegraadsfunctie f(x)=a(x-b)(x-c)(x-d) maar eens proberen. Dat kan dus echt niet met rekenmachinegetokkel. Ten slotte staat er dat dit erg belangrijk is.
Ten vierde:
waarom zou "de eigenschap" (welke eigenschap nu precies?) eigenlijk altijd, dus ook voor andere functies moeten gelden?

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 30 mei 2006