WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Limiet SIN(x)/x voor x naderend naar 0

Is het mogelijk de limiet van sin(x)/x voor x naderend naar x algebraïsch te bepalen? Deze is 1, maar hoe toont men dit wiskundig aan? Zowel teller als noemer naderen naar 0, zover zat ik al.
LP
3de graad ASO - maandag 15 mei 2006

Antwoord

Beste Lucas,

Als we x-waarden rond 0 bekijken, in het bijzonder kleiner dan $\pi$/2 maar groter dan 0, dan geldt dat sin(x) $\leq$ x $\leq$ tan(x). Ga maar na op een grafiek of bekijk het begin van de Taylorreeksen. Zolang we nog niet in 0 zelf zitten is sin(x) $>$ 0, we mogen daardoor delen:

sin(x)/sin(x) $\leq$ x/sin(x) $\leq$ tan(x)/sin(x)
1 $\leq$ x/sin(x) $\leq$ 1/cos(x)

Nu zien we dat we x/sin(x) ingesloten hebben tussen 1 en 1/cos(x). Maar als we nu x naar 0 laten gaan wordt ook 1/cos(x) gelijk aan 1 (dat is daar gewoon gedefinieerd) zodat we vinden dat ook x/sin(x), en daaruit sin(x)/x, naar 1 gaat als x naar 0 gaat.

Let wel dat ik in deze redenering alleen x>0 heb beschouwd, maar voor x<0 gaat het analoog. Je zou eventueel ook met de absolute waarden kunnen werken om het in één keer te doen.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 15 mei 2006