WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Banach ruimte

Hallo wisfaq,

Voor 1=p=oneindig wordt de p-norm op C[0,1] gedefinieerd door ||f||_p={INT[|f(x)|^p]dx}^(1/p) (integraal van 0 tot 1 en f in C[0,1])

Voor iedere eindige p, is de ruimte C[0,1] geen Banach ruimte in de p-norm (in tegenstelling tot het geval waarin p=oneindig).Dit wil ik bewijzen.Ik heb de volgende hint:
beschouw stuksgewijze continue functies die gelijk zijn aan 0 van 0 tot een 1/2 en een beetje, en gelijk aan 1 van 1 tot 1 en een beetje).

Ik heb denk ik bijna het hele bewijs en zal de belangrijkste stappen noteren, maar ik begrijp niet wat de laatste stap(pen) in het bewijs moet(en) zijn:

-Ik moet dus laten zien dat er een Cauchyrij bestaat in C[0,1] die niet convergeert in C[0,1], dus ik moet aantonen dat er een Crij {f_n} bestaat met lim f_n=f (n-oneindig) voor geen enkele f in C[0,1].
-(de hint).Ik heb de volgende functie f_n(x):
f_n(x)=0 , als 0=x=(1/2)-(1/n)
f_n(x)=(n/2)*(x-(1/2))+(1/2) ,(1/2)-(1/n)=x=(1/2)+(1/n)
f_n(x)=1, als (1/2)+(1/n)=x=1

-Ik heb na een lange technische berekening laten zien dat {f_n} een Cauchyrij is.
Maar hoe moet het bewijs nu verder?

Groeten,
Viky
viky
Student hbo - maandag 8 mei 2006

Antwoord

Laat zien dat de enige potentiele limiet de functie g kan zijn, gedefinieerd door g(x)=0 als x1/2, g(1/2)=1/2 en g(x)=1 als x1/2. Die functie is niet continu ...

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 8 mei 2006

Re: Banach ruimte