WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijs met binomium van Newton

Als z = cosq + i*sinq,
Toon dan aan door ontwikkeling van (z - z^-1)^{2k + 1} met kÎ dat:
(sinq)^{2k + 1} = 1¸2^2k*å^k_{r = 0}*(-1)^{k + r}* C^r_{2k + 1}*sin((2k-2r+1)q)
Eerst stel ik:
®(z - z^-1)^{2k + 1} = (2isinq)^{2k+ 1}
Met behulp van het binomium van Newton is dit dan vrij eenvoudig uit te werken tot:
1¸2^2k*å^{2k + 1}_{r = 0}*(-1)^{k + r}*C^r_{2k + 1}*z^{2k + 1 -2r} = 2i*(sinq)^{2k + 1}
Nu zit ik echter met het probleem dat in de z een cosinus teveel zit die ik niet omgezet krijg via goniometrie, en dan de bovengrens van de som niet klopt (splitsen in verschillende sommen heeft ook geen effect mijns inziens).
Kan iemand me hierbij verder helpen?
Van La
3de graad ASO - zaterdag 8 april 2006

Antwoord

Hallo Raphael,

Het is inderdaad goed om z-z^-1 te herkennen als 2i sinq.
Het binomium toegepast op die z-z^-1 geeft je dan een som die loopt voor r van 0 tot 2k+1, en met telkens z^2k-2r+1 in elke term. Die kan je dan weer schrijven als cos(2k-2r+1)q + isin(2k-2r+1)q.

Nu, laten we eens kijken naar het geval k=2. Dan krijg je termen met sin5q, sin3q, sinq, sin(-q), sin(-3q), sin(-5q), en hetzelfde met de cosinus. Als je de termen uitschrijft, en je gebruikt het feit dat sin(-a)=-sina en cos(-a)=cosa, dan zie je dat de cosinustermen elkaar exact opheffen, en dat de sinustermen elkaar juist verdubbelen.

Hoe bewijs je dat voor algemene k? Wel, je hebt de som van r=0 tot r=2k+1. Zoals we in het geval k=2 zagen, krijg je voor r=0 tot k alle sinussen en cosinussen met een positief argument (nl 5q,3q,q) en voor r=k+1 tot 2k+1 krijg je die met een negatief argument. Dus splits je som eens op in deze twee stukken:
å(r=0..2k+1) = å(r=0..k) + å(r=k+1..2k+1)
Je wil nu alle termen uit de tweede som in verband brengen met de termen uit de eerste som: de eerste term uit de eerste som zal je kunnen linken aan de laatste term uit de tweede som (in het geval k=2 zijn dat respectievelijk de sin5q en de sin(-5q)). Dat krijg je juist door in de tweede som de substitutie r'=2k+1-r te doen. Want dan loopt die tweede som voor r' van k tot 0. Dus dat is exact dezelfde sommatie als in de eerste som.

Wat verder uitwerken (denk eraan dat C(2k+1,r)=C(2k+1,2k+1-r) een eigenschap van combinaties is), en je komt op de te bewijzen uitdrukking.

Succes ermee, als je ergens vastloopt laat je het maar weer weten he.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 16 april 2006