WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Maximum probleem: hoogte van een rechthoekige driehoek

Dit is een reactie op vraag 43730

Hallo Kristoff,
Bedankt voor uw vriendelijk antwoord.
IK heb nu zo geredeneerd.
x,y,z zijn de zijden vazn ded r-h driehoek met z de schuine zijde.
x+y+z=R (1)is gegeven en we weten ook dat x²+y²=z²(2)
NU:z=R-(x+y)(1') en z=Ö(x²+y²) .(2')
Gelijkstelling(1') en (2') levert na kwadrateren van beide leden:
x²+y²= R²+x²+y²+2xy-2Rx-2Ry en na afzonderen van y krijgen we:
y=(R²-2Rx)/(2R-2x)(3)Als ik nu de oppervlakte schrijf als xy/2 en ook als zh/2 dan kan ik daaruit h afzonderen :
xy/2=zh/2 of xy/z= h(4)(h neergelaten uit de rechte hoek op de schuinez zijde)
Dan vervang ik in (4) de vergelijking (3) voor y en de vergelijking (2) voor z en bekom dan een vergelijking als volgt:xy/(Öx²+y²)(5) en dan daarin vergelijking (3) substitueren.Dit lijkt dan een vrij gecompliceerde vergelijking te worden.Ik weet er verder geen raad mee of zit mijn redenering fout?
Vriendelijke groeten
Rik Le
Ouder - vrijdag 17 februari 2006

Antwoord

Dat ziet er allemaal goed uit, maar als je niet oplet kan dat inderdaad wel heel omslachtige berekeningen opleveren. Ik zou dus vertrekken van h=xy/z, dan de omtrek gebruiken, dus h=xy/(R-x-y), en dan proberen de rechthoekigheid uit te drukken in een relatie tussen x en y: x²+y²=z² en z=R-x-y, dus x²+y²=(R-x-y)². Uit dat laatste kan je y oplossen als functie van x (het valt mee want y² valt weg), en dat vul je dan in in h=xy/(R-x-y). Zo krijg je de gewenste functie in x.

Ik dacht eerst niet dat het zoveel rekenwerk zou zijn... maar ik heb het eens volledig uitgewerkt, en het komt uiteindelijk toch mooi uit (de afgeleide is een breuk, dus je moet alleen naar de teller kijken), ik kwam uit op de vergelijking 2x²-4Rx+R²=0 wat je uiteindelijk een gelijkbenige driehoek oplevert (dus x=y). Dat is allicht ook wat je intuïtief verwacht, niet? Dus het eindresultaat is:
x = y = R(1 - 1/Ö2)
z = R(Ö2 - 1)
h = R(1/Ö2 - 1/2)

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 17 februari 2006