WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Limiet en afgeleide, bewijs regels

Dit is een reactie op vraag 43139

Hoe vaker ik erna kijk, hoe vager alles wordt. :(
In het boek staat het volgende:
Zo krijg je de volgende definitie van de afgeleide.
f'(x)=lim h®o (f(x+h)-f(x))/h
Daarna komt een voorbeeld
Bewijs de regel f(x)=ax² geeft f'(x)=2ax
Uitwerking
f'(x)=lim (f(x+h)-f(x))/h
h®0
=lim (a(x+h)²-ax²)/h
etc.
Nou snap ik niet waarom op de plek van f een a komt en na(x+h) ² Als het van f(x)=ax² komt, waar wordt dan die x gelaten?

In mijn eigen uitwerking bij de opdracht: bewijs de regel f(x)=ax³ geeft f'(x)=3ax² heb ik precies hetzelfde gedaan, alleen dan: a(x+h)³-ax³ etc.
Dat was eigenlijk meer proberen, dan dat ik bewust wist wat ik gedaan had.
Ik snap niet hoe je van die definitie werkt naar die eerste stap in de uitwerking.
Ik heb nu wel het antwoord en bewijs, maar ik snap zelf niet wat ik doe. Het is wel zo handig om te weten wat je doet.

Ik heb trouwens nog een vraag erbij gekregen:
Bewijs de regel k(x)=c*f(x) geeft k'(x)=c*f'(x).
Ik weet niet waar ik moet beginnen.
Lisann
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 20 januari 2006

Antwoord

Beste Lisanne,

Ik heb je in m'n vorig antwoord proberen uit te leggen wat die x in f(x) betekent, het is de veranderlijke van de functie. Stel we hebben een functie f; namelijk de sinusfunctie. Gewoon 'sin' bestaat niet, je moet die functie van een veranderlijke nemen natuurlijk, bijvoorbeeld: f(x) = sin(x). Maar ik kan de functie even goed in een andere veranderlijke nemen, bijvoorbeeld f(a) = sin(a). Het gaat om dezelfde functie, maar in een andere veranderlijke. Die veranderlijke hoeft zelfs niet 1 letter te zijn, bijvoorbeeld f(a+b) = sin(a+b).

Wat er dus na f tussen haakjes staat, is de veranderlijke. In de definitie van de afgeleide gaat het twee keer dezelfde functie, maar in verschillende veranderlijken, namelijk een keer in x+h en een keer in gewoon x. In ons voorbeeld met sinus is dat dan f(x+h)=sin(x+h) en f(x)=sin(x).

Om dan de definitie toe te passen vul je gewoon de formule in, voor onze sinus geeft dat dan: lim(h®0) (sin(x+h)-sin(x))/h.

Dus, als f(x)=ax² en je wilt die functie in een andere veranderlijke, bvb x+h (dat is dan f(x+h)), dan moet je elke x vervangen door x+h. Je krijgt dat: f(x+h) = a(x+h)², dit geheel komt dan in de plaats van f(x+h) in de definitie van de afgeleide.

Voor die laatste opgave, pas de definitie toe op k(x), je kan die c dan gewoon voor de breuk brengen en de definitie van f'(x) blijft over.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 20 januari 2006