WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Hoeveel getallen kun je maken?

Opgave 1

Om getallen van 4 cijfers te maken kiezen we deze cijfers uit 3,4,5,6,7 en 8.
Hoeveel van die getallen zijn er als
a) elk cijfer meer dan één keer mag worden gebruikt en de getallen kleiner dan 5400 moeten zijn.

Ik weet dat het eerste getal 3,4,5 mag zijn. en het tweede getal mag alleen 3 zijn.

In het antwoordenboek staat de volgende berekening:
2·6³+ 1²·6²=468
Ik weet echter niet waarom je 2·6³ moet doen en waarom er 1² en 6² staat.

Opgave 2

Op het venster van je rekenmachine wordt een cijfer gevormd door enige van zeven staafjes zichtbaar te laten worden.
Hoeveel symbolen zijn er in totaal mogelijk?

In het antwoordenboekjes staat de volgende uitwerking: 2 tot de macht 7.
Wordt het getal twee gekozen omdat 2 het minimaal aantal staafjes zijn waarmee een symbool kan worden gevormd?

jacque
Student hbo - donderdag 15 augustus 2002

Antwoord

De vergissing die je maakt is de volgende.
Als je als eerste cijfer 5 hebt gekozen, dan is het niet zeker dat het hele getal onder de 5400 blijft. Maar als je als eerste cijfer een 3 of een 4 hebt gekozen, dan kan het niet meer fout gaan.
Dat betekent dat je onderscheid moet maken tussen deze twee gevallen.

Als je op de plaats van het eerste cijfer een 3 of een 4 zet, dan maken de cijfers die op de tweede, derde en vierde plaats staan niet meer uit.
Dat geeft dan 2 . 6 . 6 . 6 = 432 getallen.
Zet je op de eerste plaats een 5, dan MOET het tweede cijfer een 3 zijn, en het derde en vierde cijfer maken verder dan niet meer uit.
Dat geeft dus 1 . 1 . 6 . 6 = 36 mogelijkheden.
Totaal dus 468 getalcombinaties.

Als je eens goed naar bijv. een videodisplay kijkt, dan zie je dat een cijfer is opgebouwd uit in totaal 7 staafjes die je zou kunnen vergelijken met 7 minuscule tl-buisjes.
Elk van die buisjes kan "aan" of "uit" zijn.
Stel je nu maar eens voor dat jij die 7 buisjes moet bedienen. Dan moet je in totaal 7 keer beslissen of je het buisje "aan" of "uit" zult doen. Als je de keuze steeds willekeurig maakt, dan krijg je dus inderdaad 2^7 = 128 mogelijkheden.
Er is nog wel een kanttekening bij te maken. Stel je eens voor dat je alle 7 keren besluit om het buisje "uit" te laten. Voor wie dan naar het eindresultaat kijkt zal het erop lijken alsof er niets brandt, dus alsof de video niet staat ingeschakeld.
Er zijn dus maar 127 zichtbare symbolen, waarvan wij sommige als cijfer herkennen.

Een tweede manier om aan het getal 128 te komen is de volgende.
Je weet waarschijnlijk nog wel dat, als je bijv. 3 voorwerpen mag kiezen uit een zevental, je in totaal "7 boven 3" keuzemogelijkheden hebt.
Op je GR tik(te) je dat in via de knop nCr, in dit geval dus 7nCr3.
Als je nu voor de 7 buisjes staat en je besluit er 1 aan te doen, dan heb je dus 7nCr1 = 7 mogelijkheden.
Kies je ervoor om 2 staafjes te laten branden, dan heb je 7nCr2 = 21 mogelijkheden.
Zo ga je door tot 7nCr7 = 1 mogelijkheden. In dit laatste geval zie je dus het cijfer "8" branden.
Tel al deze getallen op en je komt aan 127; wil je het geval "geen een staafje aan" ook meetellen, dan komt er nog 7nCr0 = 1 bij, waarmee de 128 weer teruggetoverd is.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 15 augustus 2002