WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Snijlijn van twee vlakken

Wat is de formule om de snijlijn te berekenen tussen twee vlakken in een drie dimensionaal stelsel?
Dit is het probleem:
Ik heb twee vlakken:
-y + z = 4 en 2x - 2y - z = 5
Nu is de vraag om aan te tonen dat de snijlijn L van deze twee vlakken snijdt met de lijn OD, waarbij D = (1,4,-4). Bepaal tevens het snijpunt van deze twee lijnen.
Nu moet je toch eerst de snijlijn van de vlakken uitrekenen, of kan ditook op een andere manier. We hebben in dit hoofdstuk nog geen vector-product gehad.
Ik hoop dat dit voldoende informatie geeft.
Vlot
Student universiteit - zondag 30 juni 2002

Antwoord

In de eerste vergelijking maak ik y variabel en stel de variabele waarde voor als $\lambda$. Vergelijking I vertelt je dan dat z = 4 + $\lambda$. Deze twee in $\lambda$ uitgedrukte waarden voor y en z vul je nu in de tweede vlakvergelijking in, waarmee je x óók in $\lambda$ krijgt uitgedrukt.

Je vindt: 2x - 2$\lambda$ - (4 + $\lambda$) = 5 zodat x = 1½$\lambda$ + 4½.

De punten die zowel in het ene als in het andere vlak liggen zijn dus van de vorm:

(x,y,z) = (1½$\lambda$ + 4½, $\lambda$ , $\lambda$ + 4) ofwel

(x,y,z) = (4½,0,4) + $\lambda$ (1½,1,1)

Omdat de lengte van een richtingsvector onbelangrijk is kun je dit eventueel nog iets verfraaien tot:

(x,y,z) = (4½,0,4) + $\mu$.(3,2,2)

De lijn OD heeft vectorvoorstelling (x,y,z) = $\tau$(1,4,-4)

Voor het eventuele snijpunt zou nu moeten gelden:

4½ + 3$\mu$ = $\tau$ én 2$\mu$ = 4$\tau$ én 4 + 2$\mu$ = -4$\tau$

Uit de tweede en derde vergelijking volgt $\mu$ = -1 en $\tau$ = -½. Met deze twee waarden blijkt de eerste vergelijking van dit drietal niet te kloppen.

De conclusie is dus dat er geen snijpunt is.

Bij dit werk is het in ieder geval belangrijk dat je met verschillende aanduidingen voor de parameters werkt; noem ze dus niet allemaal $\lambda$, want zoals je kon zien zijn de waarden van de diverse parameters niet gelijk.

Een iets andere aanpak zou kunnen zijn:bepaal het punt waar lijn OD het eerste vlak snijdt. Populair gezegd moet je daarvoor de vectorvoorstelling van OD in de vergelijking van het vlak invullen.

Je vindt het punt (-0.5, -2, 2)Als je de coordinaten van dit punt invult in de vergelijking van het andere vlak, dan blijkt het niet te kloppen.Kortom: OD snijdt beide vlakken in verschillende punten en dan kan het dus geen punt zijn van de snijlijn.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 1 juli 2002