WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Re: Tekenen van complexe functies

Dit is een reactie op vraag 36373

Sorry, ik heb het inderdaad niet goed geschreven, maar ik bljif nog wel met mijn vraag zitten. Als je het complexe getal Z spiegelt in de x-as krijg je: Z'(a,-b). Dus dan ga ik er van uit dat het er in poolcoordinaten zo uit ziet:
Z'=r(cos(-b) +i*sin(-b)). (als je hier goniometrische formules op los laat ziet het er anders uit, maargoed. Jullie zeggen: De r moet eigenlijk zijn: 1/r. Waarom is dit het geval?

Mijn "oplossing" was: Als je van Z=(a+bi) de inverse neemt, krijg je (zoals jullie al zeiden): Z'=ka-kbi.
Hierin is k=1/(a²+b²). Dus moet je in een rechthoekige driehoek (de grafische voorstelling van het complexe getal Z) de zijden a en b delen door a²+b².
1/r is dan gelijk aan: Ö((a/(a²+b²))²+(b/(a²+b²))²)
Volgens mij is dit wel zo, maar waarom? Ik wil graag weten waarom dit gelijk aan elkaar is.
Ik hoop dat jullie snappen dat ik vraag naar de tussenstappen in dit bewijs, niet simpelweg een regeltje. Ik weet trouwens inderdaad hoe je copmlexe getallen in je GR kan delen, maar daar ben ik dus niet naar op zoek, ik ben op zoek naar het bewijs, waarom je bij het delen de moduli door elkaar moet delen. Dit kan ik dan dus bewijzen door aan te tonen dat als je a en b door a²+b ² deelt je 1/r krijgt.
bvd
Just
Just
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 6 april 2005

Antwoord

Je eerste vraag.
Z = r(cos(t) + i·sin(t))
¹/_Z = ¹/_{r(cos(t) + i·sin(t))}
Die 'r' verhuist dan toch (mee) naar de noemer??

Je tweede vraag.
Als Z' = (ka, -kb), dan is (volgens Pythagoras) in de door jou bedoelde rechthoekige driehoek:
|OZ'| = Ö((ka)²+(kb)²) = kÖ(a²+b²)
Met k = ¹/_a²+b² geeft dit:
|OZ'| = ¹/_Ö(a²+b²)
En
Ö( (^a/_a²+b²)²+(^b/_a²+b²)² ) =
Ö( ^a²/_(a²+b²)² + ^b²/_(a²+b²)² ) =
¹/_Ö(a²+b²)
En dat is precies |OZ'|. Dat klopt dus!

En verder kunnen we zo'n deling ook met gonio-uitdrukkingen uitvoeren.
We gaan uit van twee complexe getallen met modulus r₁ en modulus r₂, met argumenten (hoeken) t en u. Dan is:

We zien dus dat de moduli worden gedeeld, r₁ gedeeld door r₂.
Bekende (?) gonio-formules (optelformules) zijn :

En daarmee krijgen we:

En dan zien we dat we bij deling het argument van het complexe getal in de noemer moeten aftrekken van het argument van het complexe getal in de teller: t - u.

Ik hoop dat eea. nu voldoende duidelijk is.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 6 april 2005