WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Rationale getallen

Hallo team wisfaq,

Zij x een natuurlijk getal en x=(1/2){n+sqrt((n^2)+4)},
de kettingbreukontwikkeling van x is x=[n,n,n,....].
Ik wil graag de volgende twee feiten bewijzen:

1.de convergenten van x worden gegeven door
{u_(k+1)/u_k}(k=1 tot oneindig), met {u_k} de rij die gefenieerd is door
u_o=o, u_1=1, u_k=au_(k-1)+u_(k-2) voor k=2.
Als ik de convergenten van x uitschrijf zie ik inderdaad dat die voldoen aan bovenstaande uitdrukking , maar ik begrijp niet hoe ik dit formeel en hard bewijzen moet. Waarschijnlijk met inductie, maar ik begrijp niet hoe ik dat hier gebruiken moet.

2. Voor elke (epsilon)e0 zijn er maar eindig veel rationale getallen p/q zodat
|x-(p/q)| 1/{sqrt(n^2+4)+e*q^2}

Vriendelijke groeten en dank,

Viky
viky
Student hbo - vrijdag 30 juli 2004

Antwoord

Hallo,

(de eerste x in de vraag moet een n zijn, en de a in de definitie van u_k moet ook een n zijn)

Volgens mathworld bestaat er een snelle manier om de n-de convergent te berekenen, namelijk vergelijking 3 op die pagina. Natuurlijk zijn alle a_i in dit geval gelijk aan n.

Bereken nu eens de m-de convergent, noem die C_m.
Ontwikkel daarvoor de determinant in de teller, volgens de eerste rij. Er komen twee termen: de eerste is n maal de noemer; de tweede is een soortgelijke determinant, maar één rang kleiner dan die in de noemer. Die tweede term gedeeld door de noemer is dus juist het omgekeerde van C_m-1.

Dus: C_m = n + 1/C_m-1

Je kan hier dus inderdaad inductie toepassen:
stel dat C_m-1=u_m/u_m-1

dan C_m = n + 1/C_m-1
= n + 1/(u_m/u_m-1)
= n + u_m-1/u_m
= (nu_m + u_m-1)/(u_m)
= u_m+1/u_m

(je moet hier wel een beetje opletten wat je de n-de convergent noemt: is n de eerste of de nulde en zo, maar dit bewijs kan je hoedanook gebruiken)

Voor de tweede vraag heb ik eerlijk gezegd absoluut geen idee. Uit het ongerijmde werken lijkt de meest logische manier om aan te tonen dat er slechts eindig veel p/q zijn, maar hoe je dat concreet moet aanpakken? Of ken je misschien een andere eigenschap over kettingbreuken die ook iets zegt als 'er zijn slechts eindig veel rationale getallen...'? If so, is het waarschijnlijk dat je dat moet gebruiken.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 1 augustus 2004

Re: Rationale getallen